Упр.4.21 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
Определите, при каких значениях $$x$$ производная функции:
- $$y=x^2+6x+5$$;
- $$y=x^3+3x^2-17$$;
- $$y=\frac{1}{3}x^3-3x^2+9x-15$$;
- $$y=x^3+5x^2-13x+7$$
равна нулю; положительна; отрицательна.
а) $$y=x^2+6x+5$$
Найдём производную:
$$y’=2x+6=2(x+3)$$
Тогда:
$$y’=0 \iff 2(x+3)=0 \iff x=-3$$
$$y’>0 \iff x>-3$$
$$y'<0 \iff x<-3$$
б) $$y=x^3+3x^2-17$$
Найдём производную:
$$y’=3x^2+6x=3x(x+2)$$
Тогда:
$$y’=0 \iff 3x(x+2)=0 \iff x=-2 \text{ или } x=0$$
Знак произведения:
$$y’>0 \iff x\in(-\infty,-2)\cup(0,+\infty)$$
$$y'<0 \iff x\in(-2,0)$$
в) $$y=\frac{x^3}{3}-3x^2+9x-15$$
Найдём производную:
$$y’=x^2-6x+9=(x-3)^2$$
Тогда:
$$y’=0 \iff x=3$$
Так как $$y’=(x-3)^2\ge 0$$ при всех $$x$$, то
$$y’>0 \iff x\in(-\infty,3)\cup(3,+\infty)$$
$$y'<0$$ — нет таких значений $$x$$.
г) $$y=x^3+5x^2-13x+7$$
Найдём производную:
$$y’=3x^2+10x-13$$
Решим уравнение $$y’=0$$:
$$3x^2+10x-13=0$$
$$D=10^2-4\cdot 3\cdot(-13)=100+156=256$$
$$x=\frac{-10\pm 16}{6}$$
$$x_1=-\frac{13}{3}, \quad x_2=1$$
Так как коэффициент при $$x^2$$ положителен, то:
$$y’>0 \iff x\in\left(-\infty,-\frac{13}{3}\right)\cup(1,+\infty)$$
$$y'<0 \iff x\in\left(-\frac{13}{3},1\right)$$
Ответ
а) $$y’=0$$ при $$x=-3$$; $$y’>0$$ при $$x>-3$$; $$y'<0$$ при $$x<-3$$.
б) $$y’=0$$ при $$x=-2,\,0$$; $$y’>0$$ при $$x\in(-\infty,-2)\cup(0,+\infty)$$; $$y'<0$$ при $$x\in(-2,0)$$.
в) $$y’=0$$ при $$x=3$$; $$y’>0$$ при $$x\in(-\infty,3)\cup(3,+\infty)$$; $$y'<0$$ — нет.
г) $$y’=0$$ при $$x=-\frac{13}{3},\,1$$; $$y’>0$$ при $$x\in\left(-\infty,-\frac{13}{3}\right)\cup(1,+\infty)$$; $$y'<0$$ при $$x\in\left(-\frac{13}{3},1\right)$$.
