Упр.3.9 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- а) $$y=\sqrt{4-x^2}$$, $$x\in[-2;0]$$; б) $$y=\sqrt{4-x^2}$$, $$x\in[0;2]$$; в) $$y=\sqrt{21-x^2+4x}$$, $$x\in[-3;2]$$; г) $$y=4+\sqrt{16-x^2+6x}$$, $$x\in[3;8]$$; д) $$y=8x^3$$; е) $$y=0{,}5\sqrt{x}$$; ж) $$y=3^{x-1}$$; з) $$y=\frac{1}{3}(x-1)$$; и) $$y=\log_5(x+2)$$; к) $$y=\log_{0{,}2}(x-1)$$.
Для функции $$y=\sqrt{4-x^2},\ x\in[-2;0]$$ возведём в квадрат:
$$x^2=4-y^2,\quad x=-\sqrt{4-y^2}.$$
На данном промежутке подходит ветвь
$$y=-\sqrt{4-x^2},\ x\in[0;2].$$
Для функции $$y=\sqrt{4-x^2},\ x\in[0;2]$$ получаем симметричную ветвь:
$$y=\sqrt{4-x^2},\ x\in[0;2].$$
Для функции $$y=\sqrt{21-x^2+4x},\ x\in[-3;2]$$ преобразуем подкоренное выражение:
$$21-x^2+4x=25-(x-2)^2.$$
Тогда
$$y=\sqrt{25-(x-2)^2}.$$
На указанном промежутке соответствует ветвь
$$y=-\sqrt{25-(x-2)^2}+2,\ x\in[0;5].$$
Для функции $$y=4+\sqrt{16-x^2+6x},\ x\in[3;8]$$ имеем:
$$16-x^2+6x=25-(x-3)^2.$$
Следовательно,
$$y=3+\sqrt{25-(x-4)^2},\ x\in[4;9].$$
Для функции $$y=8x^3$$ выразим $$x$$ через $$y$$:
$$x=\sqrt[3]{\frac{y}{8}}=\frac12\sqrt[3]{y}.$$
Значит, обратная функция:
$$y=\frac12\sqrt[3]{x}.$$
Для функции $$y=0{,}5\sqrt{x}$$:
$$\sqrt{x}=2y,\quad x=4y^2.$$
Следовательно, обратная функция:
$$y=4x^2,\ x\ge 0.$$
Для функции $$y=3^{x-1}$$:
$$x-1=\log_3 y,\quad x=1+\log_3 y.$$
Значит, обратная функция:
$$y=1+\log_3 x,\ x>0.$$
Для функции $$y=\frac13(x-1)$$:
$$x-1=3y,\quad x=3y+1.$$
Следовательно, обратная функция:
$$y=3x+1.$$
Для функции $$y=\log_5(x+2)$$:
$$x+2=5^y,\quad x=5^y-2.$$
Значит, обратная функция:
$$y=5^x-2.$$
Для функции $$y=\log_{0{,}2}(x-1)$$:
$$x-1=0{,}2^y,\quad x=0{,}2^y+1.$$
Следовательно, обратная функция:
$$y=0{,}2^x+1.$$
Ответ
а) $$y=-\sqrt{4-x^2},\ x\in[0;2]$$;
б) $$y=\sqrt{4-x^2},\ x\in[0;2]$$;
в) $$y=-\sqrt{25-(x-2)^2}+2,\ x\in[0;5]$$;
г) $$y=3+\sqrt{25-(x-4)^2},\ x\in[4;9]$$;
д) $$y=\frac12\sqrt[3]{x}$$;
е) $$y=4x^2,\ x\ge 0$$;
ж) $$y=1+\log_3 x,\ x>0$$;
з) $$y=3x+1$$;
и) $$y=5^x-2$$;
к) $$y=0{,}2^x+1$$.
