Упр.3.7 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Найдите функцию $$x=\varphi(y)$$, обратную к функции:
   а) $$y=x^4$$, $$x\in[0;+\infty)$$;
   б) $$y=x^4$$, $$x\in(-\infty;0]$$;
   в) $$y=x^{2m}$$, $$x\in(0;+\infty)$$, $$m\in\mathbb{N}$$;
   г) $$y=x^{2m}$$, $$x\in(-\infty;0]$$, $$m\in\mathbb{N}$$;
   д) $$y=x^{2m+1}$$, $$x\in(-\infty;+\infty)$$, $$m\in\mathbb{N}$$;
   е) $$y=ax$$, $$x\in(-\infty;+\infty)$$, $$a>0$$, $$a\ne1$$.

1. а) $$y=x^4,\quad x\in[0;+\infty)$$

   Выразим $$x$$ через $$y$$:

   $$x=\sqrt[4]{y},\quad y\in[0;+\infty)$$

2. б) $$y=x^4,\quad x\in(-\infty;0]$$

   Так как $$x\le 0$$, то

   $$x=-\sqrt[4]{y},\quad y\in[0;+\infty)$$

3. в) $$y=x^{2m},\quad x\in(0;+\infty),\quad m\in\mathbb{N}$$

   Тогда обратная функция:

   $$x=\sqrt[2m]{y},\quad y\in(0;+\infty)$$

4. г) $$y=x^{2m},\quad x\in(-\infty;0],\quad m\in\mathbb{N}$$

   С учётом области определения обратной функции получаем:

   $$x=-\sqrt[2m]{y},\quad y\in[0;+\infty)$$

5. д) $$y=x^{2m+1},\quad x\in(-\infty;+\infty),\quad m\in\mathbb{N}$$

   Так как степень нечётная, то

   $$x=\sqrt[2m+1]{y},\quad y\in(-\infty;+\infty)$$

6. е) $$y=a^x,\quad x\in(-\infty;+\infty),\quad a>0,\ a\ne1$$

   Находим обратную функцию, используя логарифм по основанию $$a$$:

   $$x=\log_a y,\quad y\in(0;+\infty)$$

Ответ

а) $$x=\sqrt[4]{y}$$;
б) $$x=-\sqrt[4]{y}$$;
в) $$x=\sqrt[2m]{y}$$;
г) $$x=-\sqrt[2m]{y}$$;
д) $$x=\sqrt[2m+1]{y}$$;
е) $$x=\log_a y$$.