Упр.3.21 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. 3.21. а) $$y=\arcsin(\sin x)$$; б) $$y=\arcsin(\cos x)$$; в) $$y=\arcsin(\tg x)$$; г) $$y=\arcsin(\ctg x)$$; д) $$y=\arccos(\cos x)$$; е) $$y=\arccos(\sin x)$$; ж) $$y=\arccos(\tg x)$$; з) $$y=\arccos(\ctg x)$$; и) $$y=\arctg(\tg x)$$; к) $$y=\arctg(\ctg x)$$; л) $$y=\arctg(\sin x)$$; м) $$y=\arctg(\cos x)$$; н) $$y=\operatorname{arcctg}(\ctg x)$$; о) $$y=\operatorname{arcctg}(\tg x)$$; п) $$y=\operatorname{arcctg}(\sin x)$$; р) $$y=\operatorname{arcctg}(\cos x)$$.

1. а) $$y=\arcsin(\sin x)$$

   Функция $$\arcsin t$$ принимает значения из $$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$$, поэтому
   $$\arcsin(\sin x)= \begin{cases} x, & x\in\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right],\\ \pi-x, & x\in\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right], \end{cases} \quad n\in\mathbb Z.$$

2. б) $$y=\arcsin(\cos x)=\arcsin\!\left(\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right)$$

   Тогда
   $$\arcsin(\cos x)= \begin{cases} \frac{\pi}{2}-x, & x\in\left[2\pi n,\,\pi+2\pi n\right],\\ x-\frac{3\pi}{2}, & x\in\left[\pi+2\pi n,\,2\pi+2\pi n\right], \end{cases} \quad n\in\mathbb Z.$$

3. в) $$y=\arcsin(\tg x)$$

   Здесь нужно, чтобы $$|\tg x|\le 1$$, то есть
   $$x\in\left[-\frac{\pi}{4}+\pi n,\frac{\pi}{4}+\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$
   На этих промежутках
   $$\arcsin(\tg x)=\arcsin\!\left(\tg\left(x\right)\right),$$
   график получается периодическим с периодом $$\pi$$ и значениями из $$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].$$

4. г) $$y=\arcsin(\ctg x)$$

   Нужно, чтобы $$|\ctg x|\le 1$$, то есть
   $$x\in\left[\frac{\pi}{4}+\pi n,\frac{3\pi}{4}+\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$
   Функция периодическая с периодом $$\pi$$, значения лежат в $$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].$$

5. д) $$y=\arccos(\cos x)$$

   Так как $$\arccos t\in[0,\pi]$$, то
   $$\arccos(\cos x)= \begin{cases} x, & x\in[2\pi n,\pi+2\pi n],\\ 2\pi-x, & x\in[\pi+2\pi n,2\pi+2\pi n], \end{cases} \quad n\in\mathbb Z.$$

6. е) $$y=\arccos(\sin x)=\arccos\!\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right)$$

   Поэтому
   $$\arccos(\sin x)= \begin{cases} \frac{\pi}{2}-x, & x\in\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right],\\ x+\frac{3\pi}{2}, & x\in\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right], \end{cases} \quad n\in\mathbb Z.$$

7. ж) $$y=\arccos(\tg x)$$

   Область определения:
   $$|\tg x|\le 1,\quad x\in\left[-\frac{\pi}{4}+\pi n,\frac{\pi}{4}+\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$
   Значения функции лежат в $$[0,\pi]$$, период равен $$\pi$$.

8. з) $$y=\arccos(\ctg x)$$

   Нужно, чтобы $$|\ctg x|\le 1$$, то есть
   $$x\in\left[\frac{\pi}{4}+\pi n,\frac{3\pi}{4}+\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$
   Функция принимает значения из $$[0,\pi]$$ и имеет период $$\pi$$.

9. и) $$y=\arctg(\tg x)$$

   Так как $$\arctg t\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$$, то
   $$\arctg(\tg x)=x,\quad x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n,\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$
   Это периодическая функция с периодом $$\pi$$.

10. к) $$y=\arctg(\ctg x)=\arctg\!\left(\tg\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right)$$

    Следовательно,
    $$\arctg(\ctg x)=\frac{\pi}{2}-x,\quad x\in(\pi n,\pi+\pi n),\quad n\in\mathbb Z.$$

11. л) $$y=\arctg(\sin x)$$

    Так как $$-1\le \sin x\le 1$$, то
    $$y\in\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right].$$
    Функция периодическая с периодом $$2\pi$$.

12. м) $$y=\arctg(\cos x)$$

    Аналогично,
    $$-1\le \cos x\le 1,\qquad y\in\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right],$$
    период $$2\pi$$.

13. н) $$y=\arcctg(\ctg x)$$

    Так как $$\arcctg t\in(0,\pi)$$, то
    $$\arcctg(\ctg x)=x,\quad x\in(\pi n,\pi+\pi n),\quad n\in\mathbb Z.$$

14. о) $$y=\arcctg(\tg x)=\arcctg\!\left(\ctg\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right)$$

    Поэтому
    $$\arcctg(\tg x)=\frac{\pi}{2}-x,\quad x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n,\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

15. п) $$y=\arcctg(\sin x)$$

    Так как $$-1\le \sin x\le 1$$ и $$\arcctg t\in(0,\pi)$$, то
    $$y\in\left[\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right].$$
    Период функции равен $$2\pi$$.

16. р) $$y=\arcctg(\cos x)$$

    Аналогично,
    $$-1\le \cos x\le 1,\qquad y\in\left[\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right],$$
    период $$2\pi$$.

Ответ

а) $$\arcsin(\sin x)= \begin{cases} x, & x\in\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right],\\ \pi-x, & x\in\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right] \end{cases}$$
б) $$\arcsin(\cos x)= \begin{cases} \frac{\pi}{2}-x, & x\in\left[2\pi n,\pi+2\pi n\right],\\ x-\frac{3\pi}{2}, & x\in\left[\pi+2\pi n,2\pi+2\pi n\right] \end{cases}$$
в) $$D=\left[-\frac{\pi}{4}+\pi n,\frac{\pi}{4}+\pi n\right],\ n\in\mathbb Z$$
г) $$D=\left[\frac{\pi}{4}+\pi n,\frac{3\pi}{4}+\pi n\right],\ n\in\mathbb Z$$
д) $$\arccos(\cos x)= \begin{cases} x, & x\in[2\pi n,\pi+2\pi n],\\ 2\pi-x, & x\in[\pi+2\pi n,2\pi+2\pi n] \end{cases}$$
е) $$\arccos(\sin x)= \begin{cases} \frac{\pi}{2}-x, & x\in\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right],\\ x+\frac{3\pi}{2}, & x\in\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right] \end{cases}$$
ж) $$D=\left[-\frac{\pi}{4}+\pi n,\frac{\pi}{4}+\pi n\right],\ n\in\mathbb Z$$
з) $$D=\left[\frac{\pi}{4}+\pi n,\frac{3\pi}{4}+\pi n\right],\ n\in\mathbb Z$$
и) $$\arctg(\tg x)=x,\ x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n,\frac{\pi}{2}+\pi n\right)$$
к) $$\arctg(\ctg x)=\frac{\pi}{2}-x,\ x\in(\pi n,\pi+\pi n)$$
л) $$E=\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right]$$
м) $$E=\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right]$$
н) $$\arcctg(\ctg x)=x,\ x\in(\pi n,\pi+\pi n)$$
о) $$\arcctg(\tg x)=\frac{\pi}{2}-x,\ x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n,\frac{\pi}{2}+\pi n\right)$$
п) $$E=\left[\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right]$$
р) $$E=\left[\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right],\quad n\in\mathbb Z$$