Упр.2.7 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. $$f(x)=\frac{1}{x+2}, \quad a=-2.$$

   При $$x \to -2-$$ имеем $$x+2<0$$, поэтому

   $$\lim_{x\to -2-}\frac{1}{x+2}=-\infty.$$

   При $$x \to -2+$$ имеем $$x+2>0$$, значит

   $$\lim_{x\to -2+}\frac{1}{x+2}=+\infty.$$

2. $$f(x)=\frac{1}{(x-2)^2}, \quad a=2.$$

   Так как $$(x-2)^2>0$$ при $$x\ne 2$$ и при приближении к $$2$$ знаменатель стремится к нулю, то с обеих сторон

   $$\lim_{x\to 2-}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty, \qquad \lim_{x\to 2+}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty.$$

3. $$f(x)=-\frac{3}{(x-1)^4}, \quad a=1.$$

   Поскольку $$(x-1)^4>0$$ при $$x\ne 1$$, а числитель отрицателен, то при приближении к $$1$$ с любой стороны

   $$\lim_{x\to 1-}\left(-\frac{3}{(x-1)^4}\right)=-\infty, \qquad \lim_{x\to 1+}\left(-\frac{3}{(x-1)^4}\right)=-\infty.$$

4. $$f(x)=\frac{1}{2x+1}, \quad a=0.$$

   При $$x \to 0-$$ имеем $$2x+1>0$$, поэтому

   $$\lim_{x\to 0-}\frac{1}{2x+1}=1.$$

   При $$x \to 0+$$ также

   $$\lim_{x\to 0+}\frac{1}{2x+1}=1.$$

Ответ

а) $$\lim_{x\to -2-}\frac{1}{x+2}=-\infty,\quad \lim_{x\to -2+}\frac{1}{x+2}=+\infty$$;
б) $$\lim_{x\to 2-}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty,\quad \lim_{x\to 2+}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty$$;
в) $$\lim_{x\to 1-}\left(-\frac{3}{(x-1)^4}\right)=-\infty,\quad \lim_{x\to 1+}\left(-\frac{3}{(x-1)^4}\right)=-\infty$$;
г) $$\lim_{x\to 0-}\frac{1}{2x+1}=1,\quad \lim_{x\to 0+}\frac{1}{2x+1}=1$$.