Упр.2.38 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что уравнение $$x^3+5x^2-7x-1=0$$ имеет корень на отрезке $$[1; 2]$$.

Рассмотрим многочлен $$f(x)=x^3+5x^2-7x-1.$$ Он непрерывен на отрезке $$[1;2]$$, так как является многочленом.

Найдём значения функции на концах отрезка:

$$f(1)=1+5-7-1=-2<0,$$

$$f(2)=8+20-14-1=13>0.$$

Так как на концах отрезка значения функции имеют разные знаки, а функция непрерывна на $$[1;2],$$ то по теореме Больцано существует точка $$x_0\in(1;2),$$ такая что $$f(x_0)=0.$$ Значит, уравнение имеет корень на отрезке $$[1;2].$$

Ответ

На отрезке $$[1;2]$$ уравнение имеет корень.