Упр.2.36 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Объясните, почему у функции $$y=f(x)$$ на указанном отрезке имеется нуль, если:
   а) $$f(x)=5x+2,\quad [-1;2]$$;
   б) $$f(x)=x^2+6x-1,\quad [0;1]$$;
   в) $$f(x)=x^3+6x^2-4x-1,\quad [0;1]$$.

Функция $$f(x)=5x+2$$ непрерывна на отрезке $$[-1;2]$$. Найдём её значения на концах отрезка:

$$f(-1)=5\cdot(-1)+2=-3<0,$$

$$f(2)=5\cdot 2+2=12>0.$$

Так как на концах отрезка значения функции имеют разные знаки, а сама функция непрерывна, то по теореме о промежуточных значениях существует число $$x_0\in(-1;2)$$ такое, что $$f(x_0)=0$$.

Функция $$f(x)=x^2+6x-1$$ также непрерывна на отрезке $$[0;1]$$. Проверим значения на концах:

$$f(0)=-1<0,$$

$$f(1)=1+6-1=6>0.$$

Следовательно, по теореме о промежуточных значениях существует $$x_0\in(0;1)$$, для которого $$f(x_0)=0$$.

Для функции $$f(x)=x^3+6x^2-4x-1$$ на отрезке $$[0;1]$$ имеем:

$$f(0)=-1<0,$$

$$f(1)=1+6-4-1=2>0.$$

Функция непрерывна, значит, по теореме о промежуточных значениях существует $$x_0\in(0;1)$$ такое, что $$f(x_0)=0$$.

Ответ

Во всех трёх случаях функция непрерывна на указанном отрезке и принимает на его концах значения разных знаков, поэтому на отрезке существует нуль функции.