Упр.2.31 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Докажите непрерывность функции $$y=f(x)$$ в произвольной точке $$x_0\in\mathbb{R}$$:
а) $$f(x)=\sin x$$;
б) $$f(x)=\cos x$$.

Подробный ответ

Докажем непрерывность по определению: функция непрерывна в точке $$x_0$$, если

$$\lim_{\Delta x \to 0}\Delta f=0,$$

где $$\Delta f=f(x_0+\Delta x)-f(x_0).$$

а) $$f(x)=\sin x$$
Найдём приращение функции:
$$\Delta f=\sin(x_0+\Delta x)-\sin x_0.$$
Используем формулу разности синусов:
$$\sin A-\sin B=2\sin\frac{A-B}{2}\cos\frac{A+B}{2}.$$
Тогда
$$\Delta f=2\sin\frac{\Delta x}{2}\cos\left(x_0+\frac{\Delta x}{2}\right).$$
Переходим к пределу:
$$\lim_{\Delta x\to 0}\Delta f=2\lim_{\Delta x\to 0}\sin\frac{\Delta x}{2}\cdot \lim_{\Delta x\to 0}\cos\left(x_0+\frac{\Delta x}{2}\right)=2\cdot 0\cdot \cos x_0=0.$$
Значит, функция $$y=\sin x$$ непрерывна в произвольной точке $$x_0\in\mathbb R$$.
б) $$f(x)=\cos x$$
Найдём приращение функции:
$$\Delta f=\cos(x_0+\Delta x)-\cos x_0.$$
Используем формулу разности косинусов:
$$\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}.$$
Тогда
$$\Delta f=-2\sin\left(x_0+\frac{\Delta x}{2}\right)\sin\frac{\Delta x}{2}.$$
Переходим к пределу:
$$\lim_{\Delta x\to 0}\Delta f=-2\lim_{\Delta x\to 0}\sin\left(x_0+\frac{\Delta x}{2}\right)\cdot \lim_{\Delta x\to 0}\sin\frac{\Delta x}{2}=-2\sin x_0\cdot 0=0.$$
Следовательно, функция $$y=\cos x$$ непрерывна в произвольной точке $$x_0\in\mathbb R$$.