Упр.2.16 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что: а) $$\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1$$; б) $$\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{\sin x}=1$$.

а) Используем тождество $$\tg x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$$:

$$\lim_{x\to 0}\frac{\tg x}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x\cos x} = \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\cdot \lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos x}.$$

Так как $$\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$$ и $$\lim_{x\to 0}\cos x=1,$$ то

$$\lim_{x\to 0}\frac{\tg x}{x}=1\cdot 1=1.$$

б) Аналогично:

$$\lim_{x\to 0}\frac{\tg x}{\sin x} = \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{\cos x\sin x} = \lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos x}.$$

Поскольку $$\lim_{x\to 0}\cos x=1,$$ получаем

$$\lim_{x\to 0}\frac{\tg x}{\sin x}=1.$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$1$$.