Упр.17.17 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Л7. Выразите через $$\sin x$$ и $$\cos x$$: а) $$\sin 4x$$ и $$\cos 4x$$; б) $$\sin 5x$$ и $$\cos 5x$$; в) $$\sin 6x$$ и $$\cos 6x$$.

Используем формулу Муавра:

$$\left(\cos x+i\sin x\right)^n=\cos nx+i\sin nx.$$

1. При $$n=4$$:

   $$\left(\cos x+i\sin x\right)^4=\cos 4x+i\sin 4x.$$

   Раскрывая скобки, получаем:

   $$\cos 4x=\cos^4 x-6\cos^2 x\sin^2 x+\sin^4 x,$$

   $$\sin 4x=4\cos^3 x\sin x-4\cos x\sin^3 x.$$

2. При $$n=5$$:

   $$\left(\cos x+i\sin x\right)^5=\cos 5x+i\sin 5x.$$

   Тогда

   $$\sin 5x=\sin(4x+x)=\sin 4x\cos x+\cos 4x\sin x,$$

   $$\cos 5x=\cos(4x+x)=\cos 4x\cos x-\sin 4x\sin x.$$

   Подставляя найденные выражения для $$\sin 4x$$ и $$\cos 4x$$, получаем:

   $$\sin 5x=\sin^5 x-10\sin^3 x\cos^2 x+5\sin x\cos^4 x,$$

   $$\cos 5x=\cos^5 x-10\cos^3 x\sin^2 x+5\cos x\sin^4 x.$$

3. При $$n=6$$:

   $$\left(\cos x+i\sin x\right)^6=\cos 6x+i\sin 6x.$$

   Используем формулы для $$\sin 5x$$ и $$\cos 5x$$:

   $$\sin 6x=\sin(5x+x)=\sin 5x\cos x+\cos 5x\sin x,$$

   $$\cos 6x=\cos(5x+x)=\cos 5x\cos x-\sin 5x\sin x.$$

   После подстановки и упрощения получаем:

   $$\sin 6x=6\cos x\sin^5 x-20\cos^3 x\sin^3 x+6\sin x\cos^5 x,$$

   $$\cos 6x=\cos^6 x-15\cos^4 x\sin^2 x+15\cos^2 x\sin^4 x-\sin^6 x.$$

Ответ

$$\sin 4x=4\cos^3 x\sin x-4\cos x\sin^3 x,$$

$$\cos 4x=\cos^4 x-6\cos^2 x\sin^2 x+\sin^4 x,$$

$$\sin 5x=\sin^5 x-10\sin^3 x\cos^2 x+5\sin x\cos^4 x,$$

$$\cos 5x=\cos^5 x-10\cos^3 x\sin^2 x+5\cos x\sin^4 x,$$

$$\sin 6x=6\cos x\sin^5 x-20\cos^3 x\sin^3 x+6\sin x\cos^5 x,$$

$$\cos 6x=\cos^6 x-15\cos^4 x\sin^2 x+15\cos^2 x\sin^4 x-\sin^6 x.$$