Упр.15.21 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) $$\log_2(x-a)\ge\log_2(13-x)$$;

б) $$\log_3(x-a)\ge\log_3(11-x)$$;

в) $$\log_4(x-a)\le\log_4(9-x)$$;

г) $$\log_5(x-a)\le\log_5(7-x)$$.

Для логарифмического неравенства с одинаковым основанием $$\log_b f(x)\,\square\,\log_b g(x)$$ при $$b>1$$ знак неравенства сохраняется, а при этом обязательно выполняются условия:

$$f(x)>0,\quad g(x)>0.$$

1. а)

   $$\log_2(x-a)\ge \log_2(13-x)$$

   Равносильно системе:

   $$\begin{cases} x-a\ge 13-x,\\ x-a>0,\\ 13-x>0. \end{cases}$$

   Получаем:

   $$\begin{cases} 2x\ge 13+a,\\ x>a,\\ x<13. \end{cases}$$

   То есть

   $$\begin{cases} x\ge \dfrac{13+a}{2},\\ x>a,\\ x<13. \end{cases}$$

   Если $$a<13,$$ то решения существуют при

   $$\dfrac{13+a}{2}\le x<13.$$

   Если $$a\ge 13,$$ то решений нет.

2. б)

   $$\log_3(x-a)\ge \log_3(11-x)$$

   Равносильно системе:

   $$\begin{cases} x-a\ge 11-x,\\ x-a>0,\\ 11-x>0. \end{cases}$$

   Получаем:

   $$\begin{cases} x\ge \dfrac{11+a}{2},\\ x>a,\\ x<11. \end{cases}$$

   Если $$a<11,$$ то

   $$\dfrac{11+a}{2}\le x<11.$$

   Если $$a\ge 11,$$ то решений нет.

3. в)

   $$\log_4(x-a)\le \log_4(9-x)$$

   Равносильно системе:

   $$\begin{cases} x-a\le 9-x,\\ x-a>0,\\ 9-x>0. \end{cases}$$

   Получаем:

   $$\begin{cases} x\le \dfrac{9+a}{2},\\ x>a,\\ x<9. \end{cases}$$

   Если $$a<9,$$ то

   $$a<x\le \dfrac{9+a}{2}.$$

   Если $$a\ge 9,$$ то решений нет.

4. г)

   $$\log_5(x-a)\le \log_5(7-x)$$

   Равносильно системе:

   $$\begin{cases} x-a\le 7-x,\\ x-a>0,\\ 7-x>0. \end{cases}$$

   Получаем:

   $$\begin{cases} x\le \dfrac{7+a}{2},\\ x>a,\\ x<7. \end{cases}$$

   Если $$a<7,$$ то

   $$a<x\le \dfrac{7+a}{2}.$$

   Если $$a\ge 7,$$ то решений нет.

Ответ

а) при $$a<13$$: $$\dfrac{13+a}{2}\le x<13$$; при $$a\ge 13$$ решений нет.
б) при $$a<11$$: $$\dfrac{11+a}{2}\le x<11$$; при $$a\ge 11$$ решений нет.
в) при $$a<9$$: $$a<x\le \dfrac{9+a}{2}$$; при $$a\ge 9$$ решений нет.
г) при $$a<7$$: $$a<x\le \dfrac{7+a}{2}$$; при $$a\ge 7$$ решений нет.