Упр.14.33 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$\begin{cases}\sqrt{2}\,y+\sqrt{12}\,\operatorname{ctg}x=4,\\ \sqrt{8}\,y-\sqrt{27}\,\operatorname{ctg}x=1;\end{cases}$$
   б) $$\begin{cases}\sqrt{3}\,x+\sqrt{12}\,\operatorname{tg}y=9,\\ \sqrt{27}\,x-\frac{1}{\sqrt{3}}\,\operatorname{tg}y=8.\end{cases}$$

а) Обозначим $$\sqrt{2}\,y=u,\qquad \sqrt{3}\,\ctg x=v.$$ Тогда система принимает вид

$$\begin{cases} u+2v=4,\\ 2u-3v=1. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$u=4-2v$$. Подставим во второе:

$$2(4-2v)-3v=1$$

$$8-7v=1,\qquad v=1.$$

Тогда

$$u=4-2\cdot 1=2.$$

Возвращаемся к исходным переменным:

$$\sqrt{2}\,y=2 \Rightarrow y=\sqrt{2},$$

$$\sqrt{3}\,\ctg x=1 \Rightarrow \ctg x=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

б) Обозначим $$\sqrt{3}\,x=u,\qquad \sqrt{3}\,\tg y=v.$$ Тогда система имеет вид

$$\begin{cases} u+2v=9,\\ 3u-\dfrac{v}{3}=8. \end{cases}$$

Умножим второе уравнение на $$3$$:

$$\begin{cases} u+2v=9,\\ 9u-v=24. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$u=9-2v$$. Подставим во второе:

$$9(9-2v)-v=24$$

$$81-19v=24,\qquad v=3.$$

Тогда

$$u=9-2\cdot 3=3.$$

Возвращаемся к исходным переменным:

$$\sqrt{3}\,x=3 \Rightarrow x=\sqrt{3},$$

$$\sqrt{3}\,\tg y=3 \Rightarrow \tg y=\sqrt{3}.$$

Значит,

$$y=\frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$\left(\dfrac{\pi}{3}+\pi k;\,\sqrt{2}\right),\ k\in\mathbb Z.$$

б) $$\left(\sqrt{3};\,\dfrac{\pi}{3}+\pi k\right),\ k\in\mathbb Z.$$