Упр.14.14 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- а) Решите систему
$$\begin{cases} 2x^2+y^2-4x+2y=1,\\ 3x^2-2y^2-6x-4y=5; \end{cases}$$
б) Решите систему
$$\begin{cases} x^2+2x-5y=-5,\\ x^2+y^2+2x-10y=-9. \end{cases}$$
а) Преобразуем уравнения системы, выделяя полные квадраты:
$$2x^2+y^2-4x+2y=1$$
$$2(x^2-2x+1)-1+(y+1)^2-1=1$$
$$2(x-1)^2+(y+1)^2=4$$
$$3x^2-2y^2-6x-4y=5$$
$$3(x^2-2x+1)-3-2(y^2+2y+1)+2=5$$
$$3(x-1)^2-2(y+1)^2=6$$
Получаем систему:
$$\begin{cases} 2(x-1)^2+(y+1)^2=4,\\ 3(x-1)^2-2(y+1)^2=6. \end{cases}$$
Обозначим $$u=(x-1)^2$$, $$v=(y+1)^2$$. Тогда:
$$\begin{cases} 2u+v=4,\\ 3u-2v=6. \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$2$$ и сложим со вторым:
$$4u+2v=8$$
$$3u-2v=6$$
$$7u=14,\quad u=2.$$
Тогда
$$2\cdot 2+v=4,\quad v=0.$$
Следовательно,
$$(x-1)^2=2,\qquad (y+1)^2=0.$$
Отсюда
$$x=1\pm \sqrt{2},\qquad y=-1.$$
б) Вычтем второе уравнение из первого:
$$\begin{cases} x^2+2x-5y=-5,\\ x^2+y^2+2x-10y=-9. \end{cases}$$
$$\left(x^2+2x-5y\right)-\left(x^2+y^2+2x-10y\right)=-5-(-9)$$
$$-y^2+5y=4$$
$$y^2-5y+4=0$$
$$(y-1)(y-4)=0.$$
Значит, $$y=1$$ или $$y=4$$.
Если $$y=1$$, то
$$x^2+2x-5=-5$$
$$x^2+2x=0$$
$$x(x+2)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=-2.$$
Если $$y=4$$, то
$$x^2+2x-20=-5$$
$$x^2+2x-15=0$$
$$(x+5)(x-3)=0$$
$$x=-5 \text{ или } x=3.$$
Получаем пары решений:
$$(0;1),\ (-2;1),\ (-5;4),\ (3;4).$$
Ответ
а) $$\left(1-\sqrt{2};-1\right),\ \left(1+\sqrt{2};-1\right)$$
б) $$\left(0;1\right),\ \left(-2;1\right),\ \left(-5;4\right),\ \left(3;4\right)$$
