Упр.14.13 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) система $$\begin{cases} x^2+xy+y^2=13 \\ x+y=4 \end{cases}$$; б) система $$\begin{cases} x^2-xy+y^2=7 \\ x-y=1 \end{cases}$$

а) Из второго уравнения выразим одну переменную:

$$x=4-y.$$

Подставим в первое уравнение:

$$(4-y)^2+y(4-y)+y^2=13$$

Раскроем скобки и упростим:

$$16-8y+y^2+4y-y^2+y^2=13$$

$$y^2-4y+3=0$$

$$(y-1)(y-3)=0$$

Отсюда $$y=1$$ или $$y=3$$.

Тогда

$$x=4-y,$$

значит, при $$y=1$$ получаем $$x=3$$, а при $$y=3$$ получаем $$x=1$$.

Следовательно, решения системы: $$(3;1)$$ и $$(1;3)$$.

б) Из второго уравнения выразим $$x$$:

$$x=1+y.$$

Подставим в первое уравнение:

$$(1+y)^2-y(1+y)+y^2=7$$

Упростим:

$$1+2y+y^2-y-y^2+y^2=7$$

$$y^2+y-6=0$$

$$(y+3)(y-2)=0$$

Отсюда $$y=-3$$ или $$y=2$$.

Тогда

$$x=1+y,$$

значит, при $$y=-3$$ получаем $$x=-2$$, а при $$y=2$$ получаем $$x=3$$.

Следовательно, решения системы: $$(-2;-3)$$ и $$(3;2)$$.

Ответ

а) $$(1;3),\ (3;1)$$; б) $$(-2;-3),\ (3;2)$$.