Упр.12.13 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) $$|x^2-9|+|x+4|\ge 7$$; б) $$|x^2-16|+|x-5|\ge 9$$; в) $$|x^2-4|+|x-3|\le 5$$; г) $$|x^2-1|+|x-2|\le 7$$.

Подробный ответ

а) Рассмотрим точки смены знака:
$$x^2-9=0 \Rightarrow x=\pm 3,\qquad x+4=0 \Rightarrow x=-4.$$
Разбиваем ось на промежутки: $$(-\infty;-4),\ [-4;-3),\ [-3;3),\ [3;+\infty).$$
Проверяем неравенство на каждом промежутке:
$$x\in(-\infty;-4):\ |x^2-9|+|x+4|=x^2-9-(x+4)\ge 7,$$
$$x^2-x-20\ge 0,$$
$$x\in(-\infty;-4]\cup[5;+\infty).$$
$$x\in[-4;-3):\ |x^2-9|+|x+4|=x^2-9+(x+4)\ge 7,$$
$$x^2+x-12\ge 0,$$
$$x\in(-\infty;-4]\cup[3;+\infty),$$
значит на этом промежутке получаем $$[-4;-3).$$
$$x\in[-3;3):\ |x^2-9|+|x+4|=-(x^2-9)+(x+4)\ge 7,$$
$$x^2-x-6\le 0,$$
откуда $$x\in[-3;3).$$
$$x\in[3;+\infty):\ |x^2-9|+|x+4|=x^2-9+(x+4)\ge 7,$$
$$x^2+x-12\ge 0,$$
значит $$x\in[3;+\infty).$$
Объединяя результаты, получаем:
$$x\in(-\infty;-4]\cup[3;+\infty).$$
б) Точки смены знака:
$$x^2-16=0 \Rightarrow x=\pm 4,\qquad x-5=0 \Rightarrow x=5.$$
Разбиваем ось на промежутки: $$(-\infty;-4),\ [-4;4],\ (4;5),\ [5;+\infty).$$
$$x\in(-\infty;-4):\ |x^2-16|+|x-5|=x^2-16-(x-5)\ge 9,$$
$$x^2-x-20\ge 0,$$
значит $$x\in(-\infty;-4).$$
$$x\in[-4;4]:\ |x^2-16|+|x-5|=-(x^2-16)-(x-5)\ge 9,$$
$$x^2+x-12\le 0,$$
откуда $$x\in[-4;3].$$
$$x\in(4;5):\ |x^2-16|+|x-5|=x^2-16-(x-5)\ge 9,$$
$$x^2-x-20\ge 0,$$
решений на этом промежутке нет.
$$x\in[5;+\infty):\ |x^2-16|+|x-5|=x^2-16+(x-5)\ge 9,$$
$$x^2+x-30\ge 0,$$
значит $$x\in[5;+\infty).$$
Итак,
$$x\in(-\infty;3]\cup[5;+\infty).$$
в) Точки смены знака:
$$x^2-4=0 \Rightarrow x=\pm 2,\qquad x-3=0 \Rightarrow x=3.$$
Разбиваем ось на промежутки: $$(-\infty;-2],\ [-2;2),\ [2;3),\ [3;+\infty).$$
$$x\in(-\infty;-2]:\ |x^2-4|+|x-3|=x^2-4-(x-3)\le 5,$$
$$x^2-x-6\le 0,$$
откуда на этом промежутке $$x=-2.$$
$$x\in[-2;2):\ |x^2-4|+|x-3|=-(x^2-4)-(x-3)\le 5,$$
$$x^2+x-2\ge 0,$$
значит $$x\in[-2;-1]\cup[1;2).$$
$$x\in[2;3):\ |x^2-4|+|x-3|=x^2-4-(x-3)\le 5,$$
$$x^2-x-6\le 0,$$
поэтому $$x\in[2;3).$$
$$x\in[3;+\infty):\ |x^2-4|+|x-3|=x^2-4+(x-3)\le 5,$$
$$x^2+x-12\le 0,$$
откуда $$x=3.$$
Объединяя, получаем:
$$x\in\{-2\}\cup[1;2)\cup\{3\}.$$
г) Точки смены знака:
$$x^2-1=0 \Rightarrow x=\pm 1,\qquad x-2=0 \Rightarrow x=2.$$
Разбиваем ось на промежутки: $$(-\infty;-1),\ [-1;1],\ (1;2),\ [2;+\infty).$$
$$x\in(-\infty;-1):\ |x^2-1|+|x-2|=x^2-1-(x-2)\le 3,$$
$$x^2-x-2\le 0,$$
решений на этом промежутке нет.
$$x\in[-1;1]:\ |x^2-1|+|x-2|=-(x^2-1)-(x-2)\le 3,$$
$$x^2+x\ge 0,$$
откуда $$x\in\{-1\}\cup[0;1].$$
$$x\in(1;2):\ |x^2-1|+|x-2|=x^2-1-(x-2)\le 3,$$
$$x^2-x-2\le 0,$$
значит $$x\in(1;2).$$
$$x\in[2;+\infty):\ |x^2-1|+|x-2|=x^2-1+(x-2)\le 3,$$
$$x^2+x-6\le 0,$$
откуда $$x=2.$$
Итак,
$$x\in\{-1\}\cup[0;2].$$