Упр.11.33 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$4\log_x 3 > \log_3 x — 3$$; б) $$2\log_x 5 > \log_5 x — 1$$.

а) Область допустимых значений: $$x>0,\ x\ne 1.$$

Преобразуем логарифм:

$$\log_x 3=\frac{1}{\log_3 x}.$$

Тогда неравенство принимает вид

$$\frac{4}{\log_3 x}>\log_3 x-3.$$

Обозначим $$t=\log_3 x$$. Тогда

$$\frac{4}{t}>t-3,$$

или

$$\frac{t^2-3t-4}{t}<0.$$

Разложим на множители:

$$\frac{(t-4)(t+1)}{t}<0.$$

Решаем методом интервалов:

$$t\in(-1;0)\cup(4;+\infty).$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$-1<\log_3 x<0 \;\Rightarrow\; \frac13<x<1,$$

$$\log_3 x>4 \;\Rightarrow\; x>81.$$

Следовательно,

$$x\in\left(\frac13;1\right)\cup(81;+\infty).$$

б) Область допустимых значений: $$x>0,\ x\ne 1.$$

Используем формулу

$$\log_x 5=\frac{1}{\log_5 x}.$$

Тогда

$$\frac{2}{\log_5 x}>\log_5 x-1.$$

Обозначим $$t=\log_5 x$$. Получаем

$$\frac{2}{t}>t-1,$$

или

$$\frac{t^2-t-2}{t}<0.$$

Разложим на множители:

$$\frac{(t-2)(t+1)}{t}<0.$$

Решаем методом интервалов:

$$t\in(-1;0)\cup(2;+\infty).$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$-1<\log_5 x<0 \;\Rightarrow\; \frac15<x<1,$$

$$\log_5 x>2 \;\Rightarrow\; x>25.$$

Следовательно,

$$x\in\left(\frac15;1\right)\cup(25;+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in\left(\frac13;1\right)\cup(81;+\infty)$$

б) $$x\in\left(\frac15;1\right)\cup(25;+\infty)$$