Упр.10.46 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) $$\log_{|x|}(1+x)=\log_{|x|}(x^2-5)$$;

б) $$\log_{|x|}(9+x)=\log_{|x|}\left|x^2+7\right|$$.

Рассмотрим уравнение

$$\log_{|x|}(1+x)=\log_{|x|}(x^2-5).$$

Для существования логарифмов должны выполняться условия:

$$1+x>0,\quad x^2-5>0,\quad |x|\ne 1,\quad x\ne 0.$$

Из них получаем

$$x>-1,\quad x\in(-\infty;-\sqrt5)\cup(\sqrt5;+\infty),\quad x\ne -1,\quad x\ne 0,\quad x\ne 1.$$

Совместно это даёт множество допустимых значений

$$M=(\sqrt5;+\infty).$$

На этом множестве основания логарифмов одинаковы и больше нуля, поэтому исходное уравнение равносильно

$$1+x=x^2-5.$$

Решим полученное уравнение:

$$x^2-x-6=0$$

$$\left(x-3\right)\left(x+2\right)=0$$

$$x=3 \quad \text{или} \quad x=-2.$$

Проверяем принадлежность множеству $$M$$:

$$3\in M,\qquad -2\notin M.$$

Значит, подходит только $$x=3$$.

Ответ

$$x=3$$