Упр.10.38 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

а) $$\log_2 x = 2\log_2(x-3)+2$$
б) $$\log_5 x = 2\log_5(6-x)+1$$
в) $$\log_3(x-2)-3\log_{x-2}(9)$$
г) $$\log_2(x-3)+3\log_{x-3}(4)=5$$

Подробный ответ

$$\log_2 x=2\log_2(x-3)+2$$
ОДЗ: $$x>0,\;x-3>0$$, значит $$x>3$$.
Преобразуем правую часть:
$$2\log_2(x-3)+2=\log_2(x-3)^2+\log_2 4=\log_2\bigl(4(x-3)^2\bigr).$$
Тогда
$$\log_2 x=\log_2\bigl(4(x-3)^2\bigr),$$
откуда
$$x=4(x-3)^2.$$
Решаем:
$$x=4(x^2-6x+9)$$
$$4x^2-25x+36=0$$
$$D=25^2-4\cdot 4\cdot 36=49,$$
$$x=\frac{25\pm 7}{8}.$$
Получаем $$x=\frac{9}{4}$$ и $$x=4$$. С учётом ОДЗ $$x>3$$ подходит только $$x=4$$.
$$\log_5 x=2\log_5(6-x)+1$$
ОДЗ: $$x>0,\;6-x>0,$$ значит $$0<x<6$$.
Преобразуем:
$$2\log_5(6-x)+1=\log_5(6-x)^2+\log_5 5=\log_5\bigl(5(6-x)^2\bigr).$$
Тогда
$$\log_5 x=\log_5\bigl(5(6-x)^2\bigr),$$
откуда
$$x=5(6-x)^2.$$
Решаем:
$$x=5(x^2-12x+36)$$
$$5x^2-61x+180=0$$
$$D=61^2-4\cdot 5\cdot 180=121,$$
$$x=\frac{61\pm 11}{10}.$$
Получаем $$x=5$$ и $$x=\frac{36}{5}$$. Оба значения удовлетворяют ОДЗ.
$$\log_3(x-2)-3\log_{x-2}9=0$$
ОДЗ: $$x-2>0,\;x-2\ne 1,$$ значит $$x>2,\;x\ne 3.$$
Положим $$t=\log_3(x-2)$$. Тогда
$$\log_{x-2}9=\frac{\log_3 9}{\log_3(x-2)}=\frac{2}{t}.$$
Получаем уравнение
$$t-3\cdot \frac{2}{t}=0,$$
или
$$t^2-6=0.$$
Отсюда
$$t=\pm \sqrt{6}.$$
Тогда
$$x-2=3^{\sqrt{6}} \quad \text{или} \quad x-2=3^{-\sqrt{6}}.$$
Оба значения подходят ОДЗ.
$$\log_2(x-3)+3\log_{x-3}4=5$$
ОДЗ: $$x-3>0,\;x-3\ne 1,$$ значит $$x>3,\;x\ne 4.$$
Положим $$t=\log_2(x-3)$$. Тогда
$$\log_{x-3}4=\frac{\log_2 4}{\log_2(x-3)}=\frac{2}{t}.$$
Получаем
$$t+3\cdot \frac{2}{t}=5,$$
$$t+\frac{6}{t}-5=0,$$
$$t^2-5t+6=0,$$
$$t=2 \text{ или } t=3.$$
Тогда
$$x-3=2^2=4 \quad \text{или} \quad x-3=2^3=8,$$
то есть
$$x=7 \text{ или } x=11.$$