Упр.10.24 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- 10.24. Решите уравнение:
а) $$\lg(x^2-4)=\lg(x-1);$$
б) $$\log_2(x^2-9)=\log_2(2-x)+1;$$
в) $$\lg(3x^2)=\lg(2x+1);$$
г) $$\log_2(16-x^2)=\log_2(1+x)+1.$$
а)
Так как логарифмы с одинаковым основанием равны, то равны их аргументы:
$$x^2-4=x-1.$$
При этом должны выполняться условия:
$$x^2-4>0,\quad x-1>0.$$
Решим уравнение:
$$x^2-x-3=0.$$
$$x=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}.$$
С учётом ОДЗ подходит только корень
$$x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}.$$
б)
Преобразуем правую часть:
$$\log_2(x^2-9)=\log_2(2-x)+1=\log_2(2-x)+\log_2 2=\log_2\bigl(2(2-x)\bigr).$$
Тогда
$$x^2-9=2(2-x).$$
С учётом ОДЗ:
$$x^2-9>0,\quad 2-x>0.$$
Получаем уравнение
$$x^2+2x-13=0.$$
$$x=\frac{-2\pm\sqrt{56}}{2}=-1\pm\sqrt{14}.$$
Из условий подходит только
$$x=-1-\sqrt{14}.$$
в)
Так как
$$\lg(3x^2)=\lg(2x+1),$$
то
$$3x^2=2x+1.$$
При этом
$$3x^2>0,\quad 2x+1>0.$$
Решим квадратное уравнение:
$$3x^2-2x-1=0.$$
$$x=\frac{2\pm\sqrt{16}}{6}=\frac{2\pm4}{6}.$$
Получаем
$$x=-\frac13,\quad x=1.$$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
г)
Преобразуем правую часть:
$$\log_2(16-x^2)=\log_2(1+x)+1=\log_2\bigl(2(1+x)\bigr).$$
Тогда
$$16-x^2=2(1+x).$$
С учётом ОДЗ:
$$16-x^2>0,\quad 1+x>0.$$
Получаем
$$x^2+2x-14=0.$$
$$x=\frac{-2\pm\sqrt{60}}{2}=-1\pm\sqrt{15}.$$
Из условий подходит только
$$x=-1+\sqrt{15}.$$
Ответ
а) $$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$$; б) $$-1-\sqrt{14}$$; в) $$-\frac13,\ 1$$; г) $$-1+\sqrt{15}$$.
