Упр.10.22 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$4\cos x\cos 2x=1$$; б) $$4\cos x\cos 2x=-1$$; в) $$8\cos x\cos 2x\cos 4x=1$$; г) $$8\cos x\cos 2x\cos 4x=-1$$.

1. а) Умножим уравнение на $$\sin x$$:

   $$4\sin x\cos x\cos 2x=\sin x$$

   $$2\sin x\cdot 2\cos x\cos 2x=\sin x$$

   $$\sin 4x=\sin x$$

   $$\sin 4x-\sin x=0$$

   $$2\sin \frac{3x}{2}\cos \frac{5x}{2}=0$$

   Отсюда

   $$\sin \frac{3x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos \frac{5x}{2}=0.$$

   1) $$\sin \frac{3x}{2}=0 \Rightarrow \frac{3x}{2}=\pi n \Rightarrow x=\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z.$$

   Но при $$x=\pi n$$ левая часть исходного уравнения равна $$4\cos \pi n\cos 2\pi n=4(-1)^n\neq 1,$$ поэтому такие значения нужно исключить.

   Из семейства $$x=\frac{2\pi n}{3}$$ остаются:

   $$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   2) $$\cos \frac{5x}{2}=0 \Rightarrow \frac{5x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi k \Rightarrow x=\frac{\pi}{5}+\frac{2\pi k}{5},\ k\in\mathbb Z.$$

   Исключаем значения $$x=\pi n$$. Тогда остаются:

   $$x=\frac{\pi}{5}+2\pi k,\quad x=\frac{3\pi}{5}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

2. б) Умножим уравнение на $$\sin x$$:

   $$4\sin x\cos x\cos 2x=-\sin x$$

   $$\sin 4x=-\sin x$$

   $$\sin 4x+\sin x=0$$

   $$2\sin \frac{5x}{2}\cos \frac{3x}{2}=0$$

   Отсюда

   $$\sin \frac{5x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos \frac{3x}{2}=0.$$

   1) $$\sin \frac{5x}{2}=0 \Rightarrow x=\frac{2\pi n}{5},\ n\in\mathbb Z.$$

   Исключаем $$x=\pi n$$. Получаем:

   $$x=\frac{2\pi}{5}+2\pi n,\quad x=\frac{4\pi}{5}+2\pi n,\quad x=\frac{6\pi}{5}+2\pi n,\quad x=\frac{8\pi}{5}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   2) $$\cos \frac{3x}{2}=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi k}{3},\ k\in\mathbb Z.$$

   Исключаем $$x=\pi n$$. Тогда:

   $$x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi k}{3},\quad x=\frac{5\pi}{3}+\frac{2\pi k}{3},\quad k\in\mathbb Z.$$

3. в) Умножим уравнение на $$\sin x$$:

   $$8\sin x\cos x\cos 2x\cos 4x=\sin x$$

   $$\sin 8x=\sin x$$

   $$\sin 8x-\sin x=0$$

   $$2\sin \frac{7x}{2}\cos \frac{9x}{2}=0$$

   Отсюда

   $$\sin \frac{7x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos \frac{9x}{2}=0.$$

   1) $$\sin \frac{7x}{2}=0 \Rightarrow x=\frac{2\pi n}{7},\ n\in\mathbb Z.$$

   Исключаем $$x=\pi n$$. Получаем:

   $$x=\frac{2\pi}{7}+2\pi n,\quad x=\frac{4\pi}{7}+2\pi n,\quad x=\frac{6\pi}{7}+2\pi n,\quad x=\frac{8\pi}{7}+2\pi n,\quad x=\frac{10\pi}{7}+2\pi n,\quad x=\frac{12\pi}{7}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   2) $$\cos \frac{9x}{2}=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{9},\ k\in\mathbb Z.$$

   Исключаем $$x=\pi n$$. Тогда:

   $$x=\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{9},\quad k\in\mathbb Z,\quad k\not\equiv 0 \pmod 9.$$

4. г) Умножим уравнение на $$\sin x$$:

   $$8\sin x\cos x\cos 2x\cos 4x=-\sin x$$

   $$\sin 8x=-\sin x$$

   $$\sin 8x+\sin x=0$$

   $$2\sin \frac{9x}{2}\cos \frac{7x}{2}=0$$

   Отсюда

   $$\sin \frac{9x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos \frac{7x}{2}=0.$$

   1) $$\sin \frac{9x}{2}=0 \Rightarrow x=\frac{2\pi n}{9},\ n\in\mathbb Z.$$

   Исключаем $$x=\pi n$$. Получаем:

   $$x=\frac{2\pi}{9}+2\pi n,\quad x=\frac{4\pi}{9}+2\pi n,\quad x=\frac{8\pi}{9}+2\pi n,\quad x=\frac{10\pi}{9}+2\pi n,\quad x=\frac{14\pi}{9}+2\pi n,\quad x=\frac{16\pi}{9}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   2) $$\cos \frac{7x}{2}=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{7}+\frac{2\pi k}{7},\ k\in\mathbb Z.$$

   Исключаем $$x=\pi n$$. Тогда:

   $$x=\frac{\pi}{7}+\frac{2\pi k}{7},\quad x=\frac{3\pi}{7}+\frac{2\pi k}{7},\quad x=\frac{5\pi}{7}+\frac{2\pi k}{7},\quad x=\frac{9\pi}{7}+\frac{2\pi k}{7},\quad x=\frac{11\pi}{7}+\frac{2\pi k}{7},\quad x=\frac{13\pi}{7}+\frac{2\pi k}{7},\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ \frac{4\pi}{3}+2\pi n,\ \frac{\pi}{5}+2\pi n,\ \frac{3\pi}{5}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

б) $$x=\frac{2\pi}{5}+2\pi n,\ \frac{4\pi}{5}+2\pi n,\ \frac{6\pi}{5}+2\pi n,\ \frac{8\pi}{5}+2\pi n,\ \frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3},\ \frac{5\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$

в) $$x=\frac{2\pi}{7}+2\pi n,\ \frac{4\pi}{7}+2\pi n,\ \frac{6\pi}{7}+2\pi n,\ \frac{8\pi}{7}+2\pi n,\ \frac{10\pi}{7}+2\pi n,\ \frac{12\pi}{7}+2\pi n,\ \frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{9}\ (n\not\equiv 0 \!\!\!\pmod 9)$$

г) $$x=\frac{2\pi}{9}+2\pi n,\ \frac{4\pi}{9}+2\pi n,\ \frac{8\pi}{9}+2\pi n,\ \frac{10\pi}{9}+2\pi n,\ \frac{14\pi}{9}+2\pi n,\ \frac{16\pi}{9}+2\pi n,\ \frac{\pi}{7}+\frac{2\pi n}{7},\ \frac{3\pi}{7}+\frac{2\pi n}{7},\ \frac{5\pi}{7}+\frac{2\pi n}{7},\ \frac{9\pi}{7}+\frac{2\pi n}{7},\ \frac{11\pi}{7}+\frac{2\pi n}{7},\ \frac{13\pi}{7}+\frac{2\pi n}{7},\ n\in\mathbb Z$$