Упр.10.13 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

$$\sqrt[3]{3-2x}=\sqrt{2-x}$$
$$\sqrt[3]{5-2x}=\sqrt{3-x}$$
$$\sqrt[3]{x+1}=\sqrt{x-3}$$
$$\sqrt[3]{2x+3}=\sqrt{x+2}$$

Подробный ответ

а)
$$\sqrt[3]{3-2x}=\sqrt{2-x}$$
Возведём обе части в шестую степень:
$$\begin{aligned} (\sqrt[3]{3-2x})^6&=(\sqrt{2-x})^6,\\ (3-2x)^2&=(2-x)^3. \end{aligned}$$
С учётом ОДЗ:
$$3-2x\ge 0,\quad 2-x\ge 0 \;\Rightarrow\; x\le \frac32.$$
Получаем:
$$\begin{aligned} 9-12x+4x^2&=8-12x+6x^2-x^3,\\ x^3-2x^2+1&=0,\\ (x-1)(x^2-x-1)&=0. \end{aligned}$$
Тогда
$$x=1,\quad x=\frac{1-\sqrt5}{2},\quad x=\frac{1+\sqrt5}{2}.$$
С учётом $$x\le \frac32$$ все найденные корни подходят.
б)
$$\sqrt[3]{5-2x}=\sqrt{3-x}$$
Возведём обе части в шестую степень:
$$\begin{aligned} (\sqrt[3]{5-2x})^6&=(\sqrt{3-x})^6,\\ (5-2x)^2&=(3-x)^3. \end{aligned}$$
ОДЗ:
$$5-2x\ge 0,\quad 3-x\ge 0 \;\Rightarrow\; x\le \frac52.$$
Тогда
$$\begin{aligned} 25-20x+4x^2&=27-27x+9x^2-x^3,\\ x^3-5x^2+7x-2&=0,\\ (x-2)(x^2-3x+1)&=0. \end{aligned}$$
Отсюда
$$x=2,\quad x=\frac{3-\sqrt5}{2},\quad x=\frac{3+\sqrt5}{2}.$$
С учётом $$x\le \frac52$$ подходит только
$$x=2,\quad x=\frac{3-\sqrt5}{2}.$$
в)
$$\sqrt[3]{x+1}=\sqrt{x-3}$$
Возведём обе части в шестую степень:
$$\begin{aligned} (\sqrt[3]{x+1})^6&=(\sqrt{x-3})^6,\\ (x+1)^2&=(x-3)^3. \end{aligned}$$
ОДЗ:
$$x+1\ge 0,\quad x-3\ge 0 \;\Rightarrow\; x\ge 3.$$
Получаем:
$$\begin{aligned} x^2+2x+1&=x^3-9x^2+27x-27,\\ x^3-10x^2+25x-28&=0,\\ (x-7)(x^2-3x+4)&=0. \end{aligned}$$
Из этого уравнения подходит только
$$x=7.$$
г)
$$\sqrt[3]{2x+3}=\sqrt{x+2}$$
Возведём обе части в шестую степень:
$$\begin{aligned} (\sqrt[3]{2x+3})^6&=(\sqrt{x+2})^6,\\ (2x+3)^2&=(x+2)^3. \end{aligned}$$
ОДЗ:
$$2x+3\ge 0,\quad x+2\ge 0 \;\Rightarrow\; x\ge -\frac32.$$
Тогда
$$\begin{aligned} 4x^2+12x+9&=x^3+6x^2+12x+8,\\ x^3+2x^2-1&=0,\\ x^3+x^2+(x-1)^2&=0,\\ (x+1)(x^2+x-1)&=0. \end{aligned}$$
Отсюда
$$x=-1,\quad x=\frac{-1-\sqrt5}{2},\quad x=\frac{-1+\sqrt5}{2}.$$
С учётом $$x\ge -\frac32$$ подходит
$$x=-1,\quad x=\frac{-1+\sqrt5}{2}.$$