Упр.1.56 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

• д) $$y=\sqrt{\cos x}$$;
• е) $$y=\sqrt{\tg x}$$;
• ж) $$y=\sqrt{2x}$$;
• з) $$y=\sqrt{\log_{2}(x)}$$.

а) Рассмотрим функцию $$y=\frac{2-x^2}{x^2+1}.$$

1) Область определения: $$x^2+1\neq 0$$ при любых $$x\in \mathbb{R}$$, значит, $$D(y)=\mathbb{R}.$$

2) Нули функции найдём из уравнения

$$\frac{2-x^2}{x^2+1}=0 \;\Longleftrightarrow\; 2-x^2=0 \;\Longleftrightarrow\; x=\pm\sqrt{2}.$$

3) Проверим чётность:

$$f(-x)=\frac{2-(-x)^2}{(-x)^2+1}=\frac{2-x^2}{x^2+1}=f(x).$$

Значит, функция чётная, её график симметричен относительно оси $$Oy$$.

4) Знак функции:

$$f(x)>0 \text{ при } x\in(-\sqrt{2};\sqrt{2}), \qquad f(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty;-\sqrt{2})\cup(\sqrt{2};+\infty).$$

5) На промежутке $$[0;+\infty)$$ имеем

$$f(x)=-1+\frac{3}{x^2+1}.$$

Так как при увеличении $$x\ge 0$$ дробь $$\frac{3}{x^2+1}$$ убывает, то функция убывает на $$[0;+\infty)$$.

6) Наибольшее значение достигается при $$x=0$$:

$$f(0)=\frac{2-0}{0+1}=2.$$

Так как функция чётная, это же значение является наибольшим на всей области определения.

7) Наименьшего значения функция не имеет, так как

$$f(x)=-1+\frac{3}{x^2+1}>-1$$

при всех $$x$$, а при $$|x|\to\infty$$ значение функции стремится к $$-1$$.

Следовательно, область значений:

$$E(y)=(-1;2].$$

Для построения графика можно отметить точки:

$$(0;2),\; \left(\sqrt{2};0\right),\; \left(-\sqrt{2};0\right).$$

График строится сначала для $$x>0$$, затем отражается относительно оси $$Oy$$.

Ответ

$$D(y)=\mathbb{R},\quad E(y)=(-1;2],$$

функция чётная, нули: $$x=\pm\sqrt{2}$$, наибольшее значение $$2$$ при $$x=0$$, наименьшего значения нет.