Упр.37.19 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Решите систему или совокупность неравенств:
а) $$\left\{\begin{array}{l}\dfrac{x}{x+2}-\dfrac{24}{(x+2)^2}<0,\\-5x<15\end{array}\right.$$
б) $$\left[\begin{array}{l}\dfrac{x}{x+2}-\dfrac{24}{(x+2)^2}<0,\\-5x<15\end{array}\right.$$
в) $$\left\{\begin{array}{l}\dfrac{x^2-1{,}5x-7}{(x-3)^2}?0,\\x^2<25\end{array}\right.$$
г) $$\left[\begin{array}{l}\dfrac{x^2-1{,}5x-7}{(x-3)^2}?0,\\x^2<25\end{array}\right.$$
а)
Решим первое неравенство:
$$\frac{x}{x+2}-\frac{24}{(x+2)^2}<0$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{x(x+2)-24}{(x+2)^2}<0$$
$$\frac{x^2+2x-24}{(x+2)^2}<0$$
$$\frac{(x+6)(x-4)}{(x+2)^2}<0$$
Так как $$(x+2)^2>0$$ при $$x\ne -2$$, то нужно, чтобы числитель был отрицателен:
$$(x+6)(x-4)<0$$
Отсюда:
$$-6<x<4,\quad x\ne -2$$
Второе неравенство:
$$-5x<15$$
$$x>-3$$
Пересекаем решения:
$$(-6;4)\cap(-3;+\infty)=(-3;-2)\cup(-2;4)$$
б)
Здесь дана совокупность неравенств, значит берём объединение решений.
Первое неравенство даёт:
$$(-6;4)$$
Второе неравенство:
$$x>-3$$
Тогда
$$(-6;4)\cup(-3;+\infty)=(-6;+\infty)$$
Но точка $$x=-2$$ не входит в область определения первого неравенства, поэтому её исключаем:
$$(-6;-2)\cup(-2;+\infty)$$
в)
Решим первое неравенство:
$$\frac{x^2-1{,}5x-7}{(x-3)^2}\ge 0$$
Так как $$(x-3)^2>0$$ при $$x\ne 3$$, достаточно решить:
$$x^2-1{,}5x-7\ge 0$$
Умножим на 2:
$$2x^2-3x-14\ge 0$$
Найдём корни:
$$D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot(-14)=9+112=121$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm 11}{4}$$
$$x_1=-2,\quad x_2=\frac72$$
Тогда
$$x\le -2 \quad \text{или} \quad x\ge \frac72,\quad x\ne 3$$
Второе неравенство:
$$x^2<25$$
$$-5<x<5$$
Пересекаем решения:
$$\left((-\infty;-2]\cup\left[\frac72;+\infty\right)\right)\cap(-5;5)=(-5;-2]\cup\left[\frac72;5\right)$$
г)
Это совокупность неравенств, значит объединяем решения.
Первое неравенство даёт:
$$(-\infty;-2]\cup\left[\frac72;+\infty\right),\quad x\ne 3$$
Второе неравенство:
$$-5<x<5$$
Объединение:
$$(-\infty;3)\cup(3;+\infty)$$
Ответ
а) $$(-3;-2)\cup(-2;4)$$
б) $$(-6;-2)\cup(-2;+\infty)$$
в) $$(-5;-2]\cup\left[\frac72;5\right)$$
г) $$(-\infty;3)\cup(3;+\infty)$$
