Упр.37.10 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Решите неравенство, применяя функционально-графические методы:
а) $$2^x>14-2x$$;
г) $$2^x<14-2x$$;
б) $$2^x-1д) $$2^x-1>vx$$;
в) $$2^x<|x-3|$$;
е) $$2^x?|x-3|$$.

Подробный ответ

а) Рассмотрим функции $$f(x)=2^x$$ и $$g(x)=14-2x.$$
Функция $$f(x)=2^x$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, а $$g(x)=14-2x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$. Значит, они пересекаются не более чем в одной точке.
Проверим точку пересечения:
$$f(3)=2^3=8, \qquad g(3)=14-2\cdot 3=8.$$
Так как при $$x>3$$ график $$2^x$$ расположен выше графика $$14-2x$$, то
$$2^x>14-2x \quad \Rightarrow \quad x\in(3;+\infty).$$
б) Рассмотрим функции $$f(x)=2^x-1$$ и $$g(x)=\sqrt{x}.$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
Графики пересекаются в точках:
$$x=0:\quad 2^0-1=0,\ \sqrt{0}=0;$$
$$x=1:\quad 2^1-1=1,\ \sqrt{1}=1.$$
На промежутке $$0<x<1$$ выполняется $$2^x-1<\sqrt{x}$$, а при $$x>1$$ — $$2^x-1>\sqrt{x}.$$
Следовательно,
$$2^x-1<\sqrt{x} \quad \Rightarrow \quad x\in(0;1).$$
в) Рассмотрим функции $$f(x)=2^x$$ и $$g(x)=|x-3|.$$
Они пересекаются в точке $$x=1$$:
$$2^1=2,\qquad |1-3|=2.$$
При $$x<1$$ график $$2^x$$ расположен ниже графика $$|x-3|$$, значит
$$2^x<|x-3| \quad \Rightarrow \quad x\in(-\infty;1).$$
г) Здесь те же функции, что и в пункте а): $$f(x)=2^x$$ и $$g(x)=14-2x.$$
Они пересекаются при $$x=3$$. Так как при $$x<3$$ выполняется $$2^x<14-2x,$$ то
$$2^x<14-2x \quad \Rightarrow \quad x\in(-\infty;3).$$
д) Рассмотрим функции $$f(x)=2^x-1$$ и $$g(x)=\sqrt{x}.$$
Из пункта б) известно, что они равны при $$x=0$$ и $$x=1$$, а при $$x>1$$ выполняется $$2^x-1>\sqrt{x}.$$
Значит,
$$2^x-1>\sqrt{x} \quad \Rightarrow \quad x\in(1;+\infty).$$
е) Рассмотрим функции $$f(x)=2^x$$ и $$g(x)=|x-3|.$$
Они равны при $$x=1$$. При $$x\ge 1$$ график $$2^x$$ не ниже графика $$|x-3|$$, поэтому
$$2^x\ge |x-3| \quad \Rightarrow \quad x\in[1;+\infty).$$