Упр.35.51 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$\frac{1}{2}+16^{\sin x}=\frac{6}{16^{\left(\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right)^2}}$$;
   б) $$\lg(\cos x)+\log_{0,1}(\sin 2x)=\frac{\ln 7}{\ln 10}$$.

а) Преобразуем уравнение:

$$\frac12+16^{\sin x}=\frac{6}{16^{\cos^2\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)}}$$

Так как $$16=2^4,$$ получаем
$$\frac12+2^{4\sin x}=\frac{6}{2^{4\cos^2\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)}}.$$

Используем формулу

$$\cos^2\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1+\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)}{2} =\frac{1-\sin x}{2}.$$

Тогда

$$2^{4\cos^2\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)}=2^{2-2\sin x}=4\cdot 2^{-2\sin x}.$$

Обозначим $$y=2^{2\sin x}.$$ Тогда $$2^{4\sin x}=y^2,$$ а уравнение принимает вид

$$\frac12+y^2=\frac{6}{4\cdot 2^{-2\sin x}}=\frac{3}{2}y.$$

Получаем квадратное уравнение:

$$1+2y^2=3y$$
$$2y^2-3y+1=0$$
$$(2y-1)(y-1)=0.$$

Отсюда

$$y=\frac12 \quad \text{или} \quad y=1.$$

1) Если $$2^{2\sin x}=\frac12=2^{-1},$$ то

$$2\sin x=-1,\qquad \sin x=-\frac12.$$
Значит,
$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) Если $$2^{2\sin x}=1,$$ то

$$2\sin x=0,\qquad \sin x=0,$$
откуда

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Преобразуем логарифмы:

$$\lg(\cos x)+\log_{0{,}1}(\sin 2x)=\frac{\ln 7}{\ln 10}.$$

Так как $$\log_{0{,}1} a=-\lg a,$$ а $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ то

$$\lg(\cos x)-\lg(2\sin x\cos x)=\lg 7.$$

Объединяем логарифмы:

$$\lg\frac{\cos x}{2\sin x\cos x}=\lg 7,$$
$$\frac{1}{2\sin x}=7.$$

Следовательно,

$$\sin x=\frac{1}{14}.$$

С учётом области определения нужно, чтобы $$\cos x>0$$ и $$\sin 2x>0,$$ что выполняется для найденных решений.

Тогда

$$x=\arcsin\frac{1}{14}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\pi n,\; x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\arcsin\frac{1}{14}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$