Упр.35.50 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение $$\frac{1}{|\sin x|}=5-\frac{9}{?}\cdot\left|x-\frac{?}{2}\right|$$.

Рассмотрим уравнение

$$\frac{1}{|\sin x|}=5-\frac{9}{\pi}\left|x-\frac{\pi}{2}\right|.$$

Левая часть определена при $$\sin x\ne 0$$ и всегда не меньше 1:

$$\frac{1}{|\sin x|}\ge 1.$$

Правая часть на отрезке $$[0;\pi]$$ имеет вид

$$g(x)=5-\frac{9}{\pi}\left|x-\frac{\pi}{2}\right|.$$

Проверим значения в характерных точках:

$$g\left(\frac{\pi}{2}\right)=5,$$

$$g\left(\frac{\pi}{6}\right)=5-\frac{9}{\pi}\cdot\frac{\pi}{3}=2,$$

$$g\left(\frac{5\pi}{6}\right)=5-\frac{9}{\pi}\cdot\frac{\pi}{3}=2.$$

При этом

$$\frac{1}{\left|\sin \frac{\pi}{6}\right|}=2,\qquad \frac{1}{\left|\sin \frac{5\pi}{6}\right|}=2.$$

Следовательно, точки пересечения графиков соответствуют значениям

$$x=\frac{\pi}{6}\quad \text{и}\quad x=\frac{5\pi}{6}.$$

Проверим границы периода:

$$g(0)=5-\frac{9}{\pi}\cdot\frac{\pi}{2}=0{,}5,\qquad g(\pi)=0{,}5,$$

а значит, на концах отрезка пересечений нет.

Ответ

$$\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6}.$$