Упр.35.31 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение методом введения новой переменной: а) $$2\operatorname{tg}^2(x)-5=4\cos^2(x)$$; в) $$4\sin^2(x)=4-9\operatorname{tg}^2(x)$$; б) $$3\operatorname{ctg}^2(x)+2\cos^2(x)=4$$; г) $$5\operatorname{ctg}^2(x)-4\sin^2(x)=3$$.

1. а) $$2\tg^2 x-5=4\cos^2 x$$

   Так как $$\tg^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x}-1,$$ положим $$y=\cos^2 x.$$ Тогда

   $$2\left(\frac{1}{y}-1\right)-5=4y$$
   $$\frac{2}{y}-7=4y$$
   $$4y^2+7y-2=0$$

   $$D=7^2+4\cdot 4\cdot 2=81$$
   $$y_{1}=\frac{-7-9}{8}=-2,\qquad y_{2}=\frac{-7+9}{8}=\frac14$$

   Значение $$y=-2$$ не подходит, так как $$\cos^2 x\ge 0.$$

   При $$\cos^2 x=\frac14$$ имеем:

   $$\cos x=\pm \frac12$$
   $$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2. б) $$3\ctg^2 x+2\cos^2 x=4$$

   Так как $$\ctg^2 x=\dfrac{1}{\sin^2 x}-1,$$ положим $$y=\sin^2 x.$$ Тогда

   $$3\left(\frac{1}{y}-1\right)+2(1-y)=4$$
   $$\frac{3}{y}-1-2y=4$$
   $$2y^2+5y-3=0$$

   $$D=5^2+4\cdot 2\cdot 3=49$$
   $$y_{1}=\frac{-5-7}{4}=-3,\qquad y_{2}=\frac{-5+7}{4}=\frac12$$

   Значение $$y=-3$$ не подходит, так как $$\sin^2 x\ge 0.$$

   При $$\sin^2 x=\frac12$$ получаем:

   $$\frac{1-\cos 2x}{2}=\frac12$$
   $$\cos 2x=0$$
   $$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$
   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$

3. в) $$4\sin^2 x=4-9\tg^2 x$$

   Преобразуем через $$\cos^2 x$$:

   $$4-4\cos^2 x=4-\frac{9}{\cos^2 x}+9$$

   Положим $$y=\cos^2 x.$$ Тогда

   $$4-4y=13-\frac{9}{y}$$
   $$4y^2+9y-9=0$$

   $$D=9^2+4\cdot 4\cdot 9=225$$
   $$y_{1}=\frac{-9-15}{8}=-3,\qquad y_{2}=\frac{-9+15}{8}=\frac34$$

   Значение $$y=-3$$ не подходит.

   При $$\cos^2 x=\frac34$$ имеем:

   $$\cos x=\pm \frac{\sqrt3}{2}$$
   $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

4. г) $$5\ctg^2 x-4\sin^2 x=3$$

   Так как $$\ctg^2 x=\dfrac{1}{\sin^2 x}-1,$$ положим $$y=\sin^2 x.$$ Тогда

   $$5\left(\frac{1}{y}-1\right)-4y=3$$
   $$\frac{5}{y}-5-4y=3$$
   $$4y^2+8y-5=0$$

   $$D=8^2+4\cdot 4\cdot 5=144$$
   $$y_{1}=\frac{-8-12}{8}=-\frac52,\qquad y_{2}=\frac{-8+12}{8}=\frac12$$

   Значение $$y=-\frac52$$ не подходит.

   При $$\sin^2 x=\frac12$$ получаем:

   $$\frac{1-\cos 2x}{2}=\frac12$$
   $$\cos 2x=0$$
   $$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$
   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

а) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
б) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$
в) $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
г) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$