Упр.35.18 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Решите уравнение, используя функционально-графические методы:

а) $$\sqrt{x^2-2x+2}+\log_3\left(\sqrt{x^2-2x+10}\right)=2$$;

б) $$(x-7)^2+\log_5\left(\sqrt{x^2-14x+74}\right)=1$$.

а) Рассмотрим выражения по отдельности:

$$\sqrt{x^2-2x+2}=\sqrt{(x-1)^2+1}\ge 1,$$
так как минимальное значение подкоренного выражения равно $$1$$ при $$x=1$$.

$$\sqrt{x^2-2x+10}=\sqrt{(x-1)^2+9}\ge 3,$$
значит
$$\log_3\sqrt{x^2-2x+10}\ge \log_3 3=1.$$

Тогда левая часть уравнения не меньше

$$\sqrt{x^2-2x+2}+\log_3\sqrt{x^2-2x+10}\ge 1+1=2.$$

Равенство достигается при $$x=1$$. Проверим:

$$\sqrt{1^2-2\cdot1+2}+\log_3\sqrt{1^2-2\cdot1+10}=1+\log_3 3=1+1=2.$$

Следовательно, $$x=1$$.

б) Преобразуем выражения:

$$(x-7)^2\ge 0,$$
а
$$x^2-14x+74=(x-7)^2+25\ge 25.$$

Тогда

$$\sqrt{x^2-14x+74}\ge 5,$$
следовательно,
$$\log_5\sqrt{x^2-14x+74}\ge \log_5 5=1.$$

Значит, левая часть уравнения не меньше

$$(x-7)^2+\log_5\sqrt{x^2-14x+74}\ge 0+1=1.$$

Равенство достигается при $$x=7$$. Проверим:

$$(7-7)^2+\log_5\sqrt{7^2-14\cdot7+74}=0+\log_5 5=1.$$

Следовательно, $$x=7$$.

Ответ

а) $$1$$; б) $$7$$.