Упр.35.17 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Решите уравнение, используя функционально-графические методы:

а) $$\log_{\frac{1}{3}}(x^2-4x+13)=\cos\left(\frac{5\pi x}{2}\right)+\sin\left(\frac{3\pi x}{4}\right)$$;

б) $$\log_4(x^2-2x+17)=\sin\left(\frac{5\pi x}{2}\right)+\cos(8\pi x)$$.

а) Рассмотрим левую часть:

$$x^2-4x+13=(x-2)^2+9\ge 9.$$

Так как основание логарифма $$\frac13<1,$$ то функция $$\log_{\frac13}x$$ убывает, значит

$$\log_{\frac13}(x^2-4x+13)\le \log_{\frac13}9=-2.$$

Правая часть уравнения удовлетворяет оценке

$$-2\le \cos\frac{5\pi x}{2}+\sin\frac{3\pi x}{4}\le 2.$$

Равенство $$-2$$ достигается при

$$\cos\frac{5\pi x}{2}=-1,\qquad \sin\frac{3\pi x}{4}=-1.$$

При $$x=2$$ получаем

$$\cos 5\pi+\sin\frac{3\pi}{2}=-1-1=-2.$$

Значит, $$x=2$$ — решение.

б) Рассмотрим левую часть:

$$x^2-2x+17=(x-1)^2+16\ge 16.$$

Так как основание логарифма $$4>1,$$ то

$$\log_4(x^2-2x+17)\ge \log_4 16=2.$$

Правая часть уравнения удовлетворяет оценке

$$-2\le \sin\frac{5\pi x}{2}+\cos 8\pi x\le 2.$$

Равенство $$2$$ достигается при

$$\sin\frac{5\pi x}{2}=1,\qquad \cos 8\pi x=1.$$

При $$x=1$$ имеем

$$\sin\frac{5\pi}{2}+\cos 8\pi=1+1=2.$$

Значит, $$x=1$$ — решение.

Ответ

а) $$2$$; б) $$1$$.