Упр.34.7 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Решите уравнение: а) $$x^4-x^3-4x^2-x+1=0$$; б) $$2x^4-11x^3+19x^2-11x+2=0$$; в) $$2x^4-7x^3+10x^2-7x+2=0$$; г) $$3x^4-4x^3+7x^2-4x+3=0$$.

Подробный ответ

а) $$x^4-x^3-4x^2-x+1=0$$
Разделим на $$x^2$$ и введём замену $$y=x+\frac1x$$:
$$x^2+\frac1{x^2}-\left(x+\frac1x\right)-4=0$$
Так как $$x^2+\frac1{x^2}=y^2-2$$, получаем:
$$y^2-y-6=0$$
$$D=1+24=25,\quad y_1=-2,\quad y_2=3$$
1) $$x+\frac1x=-2$$
$$x^2+2x+1=0,\quad (x+1)^2=0,\quad x=-1$$
2) $$x+\frac1x=3$$
$$x^2-3x+1=0$$
$$D=9-4=5,\quad x=\frac{3\pm\sqrt5}{2}$$
Ответ: $$-1,\ \frac{3-\sqrt5}{2},\ \frac{3+\sqrt5}{2}$$.
б) $$2x^4-11x^3+19x^2-11x+2=0$$
Делим на $$x^2$$ и вводим замену $$y=x+\frac1x$$:
$$2\left(x^2+\frac1{x^2}\right)-11\left(x+\frac1x\right)+19=0$$
$$2(y^2-2)-11y+19=0$$
$$2y^2-11y+15=0$$
$$D=121-120=1,\quad y_1=\frac52,\quad y_2=3$$
1) $$x+\frac1x=\frac52$$
$$2x^2-5x+2=0$$
$$D=25-16=9,\quad x=\frac{5\pm3}{4}$$
$$x=\frac12,\ 2$$
2) $$x+\frac1x=3$$
$$x^2-3x+1=0$$
$$x=\frac{3\pm\sqrt5}{2}$$
Ответ: $$\frac12,\ 2,\ \frac{3-\sqrt5}{2},\ \frac{3+\sqrt5}{2}$$.
в) $$2x^4-7x^3+10x^2-7x+2=0$$
Делим на $$x^2$$ и вводим замену $$y=x+\frac1x$$:
$$2\left(x^2+\frac1{x^2}\right)-7\left(x+\frac1x\right)+10=0$$
$$2(y^2-2)-7y+10=0$$
$$2y^2-7y+6=0$$
$$D=49-48=1,\quad y_1=\frac32,\quad y_2=2$$
1) $$x+\frac1x=\frac32$$
$$2x^2-3x+2=0$$
$$D=9-16<0$$, действительных корней нет.
2) $$x+\frac1x=2$$
$$x^2-2x+1=0,\quad (x-1)^2=0,\quad x=1$$
Ответ: $$1$$.
г) $$3x^4-4x^3+7x^2-4x+3=0$$
Делим на $$x^2$$ и вводим замену $$y=x+\frac1x$$:
$$3\left(x^2+\frac1{x^2}\right)-4\left(x+\frac1x\right)+7=0$$
$$3(y^2-2)-4y+7=0$$
$$3y^2-4y+1=0$$
$$D=16-12=4,\quad y_1=\frac13,\quad y_2=1$$
1) $$x+\frac1x=\frac13$$
$$3x^2-x+3=0$$
$$D=1-36<0$$, действительных корней нет.
2) $$x+\frac1x=1$$
$$x^2-x+1=0$$
$$D=1-4<0$$, действительных корней нет.
Действительных решений нет.