Упр.31.24 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. а) Найдите все положительные значения параметра $$a$$, при которых уравнение $$\left(\log_5(a)\right)x^2-\left(2\log_5(a)-3\right)x+\log_5(a)-2{,}5=0$$ имеет единственный корень.
   б) Найдите все положительные значения параметра $$a$$, при которых уравнение $$\left(\log_8(a)\right)x^2+\left(2\log_8(a)+1\right)x+\log_8(a)-3=0$$ не имеет корней.

а) Обозначим $$t=\log_5 a.$$ Тогда уравнение принимает вид

$$tx^2-(2t-3)x+t-2{,}5=0.$$

Чтобы уравнение имело единственный корень, возможны два случая:

• либо это квадратное уравнение с $$D=0$$;
• либо оно становится линейным, то есть $$t=0$$.

Найдём дискриминант:

$$D=(2t-3)^2-4t(t-2{,}5) =4t^2-12t+9-4t^2+10t =-2t+9.$$

Приравниваем к нулю:

$$-2t+9=0,\qquad t=\frac92.$$

Тогда

$$\log_5 a=\frac92,\qquad a=5^{9/2}.$$

Если $$t=0,$$ то

$$\log_5 a=0,\qquad a=1,$$

и уравнение становится линейным, значит, имеет единственный корень.

б) Обозначим $$t=\log_8 a.$$ Тогда уравнение имеет вид

$$tx^2+(2t+1)x+t-3=0.$$

Чтобы уравнение не имело корней, нужно, чтобы либо оно было квадратным и $$D<0,$$ либо стало линейным без корней.

Найдём дискриминант:

$$D=(2t+1)^2-4t(t-3) =4t^2+4t+1-4t^2+12t =16t+1.$$

Требуем

$$16t+1<0,\qquad t<-\frac1{16}.$$

Значит,

$$\log_8 a<-\frac1{16},\qquad a<8^{-1/16}.$$

Если $$t=0,$$ то $$a=1,$$ и уравнение превращается в линейное:

$$x-3=0,$$

то есть корень есть, поэтому $$a=1$$ не подходит.

Ответ

а) $$a\in\{1;\,5^{9/2}\}.$$

б) $$0<a<8^{-1/16}.$$