Упр.31.22 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Найдите наименьшее целочисленное значение параметра $$a$$, при котором имеет два корня уравнение:
   а) $$x^2-2ax+a^2-5a+4=0$$;
   б) $$x^2+2(a-1)x+a^2-5a+17=0$$.

а) Рассмотрим уравнение

$$x^2-2ax+a^2-5a+4=0.$$

Чтобы уравнение имело два корня, нужно, чтобы его дискриминант был положительным:

$$D=(-2a)^2-4(a^2-5a+4)>0.$$

$$4a^2-4a^2+20a-16>0,$$

$$20a>16,$$

$$a>\frac45.$$

Наименьшее целое значение параметра:

$$a=1.$$

б) Рассмотрим уравнение

$$x^2+2(a-1)x+a^2-5a+17=0.$$

Для двух корней требуется:

$$D=\bigl(2(a-1)\bigr)^2-4(a^2-5a+17)>0.$$

$$4(a-1)^2-4(a^2-5a+17)>0,$$

$$4a^2-8a+4-4a^2+20a-68>0,$$

$$12a>64,$$

$$a>\frac{16}{3}.$$

Наименьшее целое значение параметра:

$$a=6.$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$6$$.