Упр.31.20 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

При каких значениях параметра $$a$$ имеет решения система уравнений:

а) $$\begin{cases} 2x^2-3x=y-1, \\ y=5x+a; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} 3x^2-y=3x+2, \\ 9x+y=a? \end{cases}$$

а) Подставим из второго уравнения $$y=5x+a$$ в первое:

$$2x^2-3x=5x+a-1$$
$$2x^2-8x+(1-a)=0$$

Система имеет решение тогда и только тогда, когда это квадратное уравнение имеет действительные корни, то есть его дискриминант неотрицателен:

$$D=(-8)^2-4\cdot 2\cdot(1-a)\ge 0$$
$$64-8+8a\ge 0$$
$$56+8a\ge 0$$
$$a\ge -7$$

б) Из второго уравнения выразим $$y$$:

$$9x+y=a \Rightarrow y=a-9x$$

Подставим в первое уравнение:

$$3x^2-(a-9x)=3x+2$$
$$3x^2+6x-(a+2)=0$$

Для существования решений системы нужно, чтобы это уравнение имело действительные корни:

$$D=6^2-4\cdot 3\cdot (-(a+2))\ge 0$$
$$36+12(a+2)\ge 0$$
$$36+12a+24\ge 0$$
$$60+12a\ge 0$$
$$a\ge -5$$

Ответ

а) $$a\in[-7;+\infty)$$; б) $$a\in[-5;+\infty)$$.