Упр.31.17 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. При каких значениях параметра $$a$$ прямая $$y=ax-2$$ является касательной к графику функции:
   а) $$y=\sqrt{2x-5}$$;
   б) $$y=-2\sqrt{2x+3}$$?

1. а) Пусть график функции $$y=\sqrt{2x-5}$$ касается прямой $$y=ax-2$$ в точке с абсциссой $$x_0$$. Тогда угловой коэффициент касательной равен производной:

   $$y'(x)=\frac{2}{2\sqrt{2x-5}}=\frac{1}{\sqrt{2x-5}}.$$

   При касании

   $$\frac{1}{\sqrt{2x_0-5}}=a.$$

   Отсюда

   $$\sqrt{2x_0-5}=\frac{1}{a}, \qquad 2x_0-5=\frac{1}{a^2},$$

   $$x_0=\frac{5}{2}+\frac{1}{2a^2}.$$

   Координата точки касания удовлетворяет уравнению прямой и графика функции:

   $$y_0=\sqrt{2x_0-5}=\frac{1}{a}.$$

   Подставим в уравнение касательной:

   $$\frac{1}{a}=a\left(\frac{5}{2}+\frac{1}{2a^2}\right)-2.$$

   Упростим:

   $$\frac{1}{a}=\frac{5a}{2}+\frac{1}{2a}-2,$$

   $$\frac{1}{2a}-\frac{5a}{2}=-2,$$

   $$1-5a^2=-4a,$$

   $$5a^2-4a-1=0.$$

   Решаем квадратное уравнение:

   $$D=(-4)^2-4\cdot 5\cdot(-1)=36,$$

   $$a=\frac{4\pm 6}{10}.$$

   Получаем:

   $$a_1=1,\qquad a_2=-\frac{1}{5}.$$

2. б) Для функции $$y=-\sqrt{2x+3}$$ имеем

   $$y'(x)=-\frac{1}{\sqrt{2x+3}}.$$

   При касании

   $$-\frac{1}{\sqrt{2x_0+3}}=a,$$

   значит

   $$\sqrt{2x_0+3}=-\frac{1}{a}, \qquad 2x_0+3=\frac{1}{a^2},$$

   $$x_0=\frac{1}{2a^2}-\frac{3}{2}.$$

   Тогда

   $$y_0=-\sqrt{2x_0+3}=\frac{1}{a}.$$

   Подставим в уравнение прямой:

   $$\frac{1}{a}=a\left(\frac{1}{2a^2}-\frac{3}{2}\right)-2.$$

   Упростим:

   $$\frac{1}{a}=\frac{1}{2a}-\frac{3a}{2}-2,$$

   $$\frac{1}{2a}+\frac{3a}{2}=-2,$$

   $$1+3a^2=-4a,$$

   $$3a^2+4a+1=0.$$

   Решаем квадратное уравнение:

   $$D=4^2-4\cdot 3\cdot 1=4,$$

   $$a=\frac{-4\pm 2}{6}.$$

   Получаем:

   $$a_1=-1,\qquad a_2=-\frac{1}{3}.$$

Ответ

а) $$a=1,\,-\frac{1}{5}$$; б) $$a=-1,\,-\frac{1}{3}$$.