Упр.30.12 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Решите неравенство, применяя функционально-графические методы: а) $$|x| < x+1$$; б) $$|x-1| > x-1$$; в) $$|x|?3-2x$$; г) $$|x+1|?1-x$$; д) $$|x+2|?x+2$$; е) $$|x| > 3x-2$$.
- $$|x|
1) Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и получаем
$$x<x+1,$$
что верно при всех $$x\ge 0.$$
2) Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и тогда
$$-x<x+1$$
$$-2x<1$$
$$x>-\frac12.$$С учётом условия $$x<0$$ получаем $$-\frac12<x<0.$$
Итак,
$$x>-\frac12.$$
- $$|x-1|>x-1$$
Если $$x\ge 1,$$ то $$|x-1|=x-1,$$ и неравенство превращается в
$$x-1>x-1,$$
что неверно.
Если $$x<1,$$ то $$|x-1|=1-x,$$ и тогда
$$1-x>x-1$$
$$2>2x$$
$$x<1.$$Это условие выполняется при всех $$x<1.$$
- $$|x|\le 3-2x$$
Правая часть должна быть неотрицательной:
$$3-2x\ge 0 \quad \Rightarrow \quad x\le \frac32.$$
Рассмотрим случаи.
1) Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и
$$x\le 3-2x$$
$$3x\le 3$$
$$x\le 1.$$С учётом $$x\ge 0$$ получаем $$0\le x\le 1.$$
2) Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и
$$-x\le 3-2x$$
$$x\le 3.$$Это верно при всех $$x<0.$$
Итак,
$$x<=1.$$
- $$|x+1|\ge 1-x$$
Если $$x\ge -1,$$ то $$|x+1|=x+1,$$ и
$$x+1\ge 1-x$$
$$2x\ge 0$$
$$x\ge 0.$$Если $$x<-1,$$ то $$|x+1|=-x-1,$$ и
$$-x-1\ge 1-x,$$
что неверно.
Значит, решение:
$$x\ge 0.$$
- $$|x+2|\le x+2$$
Неравенство $$|a|\le a$$ выполняется тогда и только тогда, когда $$a\ge 0.$$ Поэтому
$$x+2\ge 0,$$
$$x\ge -2.$$ - $$|x|>3x-2$$
Рассмотрим случаи.
1) Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и
$$x>3x-2$$
$$-2x>-2$$
$$x<1.$$С учётом $$x\ge 0$$ получаем $$0\le x<1.$$
2) Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и
$$-x>3x-2$$
$$-4x>-2$$
$$x<\frac12.$$Это верно при всех $$x<0.$$
Итак,
$$x<1.$$
Ответ
а) $$\left(-\frac12;+\infty\right)$$; б) $$(-\infty;1)$$; в) $$(-\infty;1]$$; г) $$[0;+\infty)$$; д) $$[-2;+\infty)$$; е) $$(-\infty;1).$$
