Тест Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Какова вероятность того, что наудачу выбранная точка отрезка $$[-5;15]$$ окажется точкой промежутка $$(-4;4)$$?
а) 0,8; б) 0,2; в) 0,4; г) 0,6.
Какова вероятность того, что случайным образом выбранное решение неравенства $$x^2\leq64$$ окажется решением неравенства $$|x-3|\leq2$$?
а) $$\frac{5}{8}$$; б) $$\frac{1}{2}$$; в) $$\frac{3}{16}$$; г) $$\frac{1}{4}$$.
Общий центр двух концентрических кругов радиусом 1 и 2 лежит на оси $$Ox$$. Какова вероятность того, что случайным образом выбранная точка большего круга окажется выше оси $$Ox$$ и вне меньшего круга?
а) $$\frac{3}{8}$$; б) $$\frac{1}{4}$$; в) $$\frac{3}{4}$$; г) $$\frac{1}{2}$$.
В кубике Рубика $$3\times3$$ наудачу выбирают точку. Какова вероятность того, что она окажется в одном из кубиков $$1\times1$$, у которых ровно одна грань расположена на поверхности куба?
а) $$\frac{8}{27}$$; б) $$\frac{2}{9}$$; в) $$\frac{8}{9}$$; г) $$\frac{4}{27}$$.
Случайная величина $$T$$ равномерно распределена на отрезке $$[-3;-1]$$. На каком из рисунков изображён верный эскиз графика её плотности?
Случайная величина $$R$$ равномерно распределена на отрезке $$[-1;3]$$. Найдите вероятность того, что её значение окажется между 0,5 и 2.
а) $$\frac{1}{4}$$; б) $$\frac{3}{4}$$; в) $$\frac{1}{2}$$; г) $$\frac{3}{8}$$.
Вероятность «успеха» в одном испытании равна 0,2. Какова вероятность того, что при трёх повторениях испытания «успех» наступит ровно в одном случае?
а) 0,384; б) 0,096; в) 0,008; г) 0,25.
Укажите ответ, в котором верно заполнены пропуски в формуле Бернулли $$P_?(?)=C(?,33)\cdot?^?\cdot0,4^{22}$$, если известно, что «успех» более вероятен, чем «неудача».
а) $$P_{33}(11)=C(11,44)\cdot0,6^{11}\cdot0,4^{22}$$;
б) $$P_{33}(11)=C(11,33)\cdot0,6^{11}\cdot0,4^{22}$$;
в) $$P_{33}(22)=C(22,33)\cdot0,6^{11}\cdot0,4^{22}$$;
г) $$P_{33}(22)=C(11,33)\cdot0,6^{22}\cdot0,4^{22}$$.
Укажите неверное неравенство для значений функции $$y=\Phi(x)$$ Лапласа.
а) $$\Phi(0,11)<\Phi(0,12)$$;
в) $$\Phi(-3)>\Phi(-2)$$;
б) $$\Phi(1)?\Phi(-2)$$;
г) $$\Phi(5)<0,5$$.
Случайная величина $$T$$ имеет нормальное распределение $$N(3;1)$$. На каком из рисунков изображён верный эскиз графика её плотности?

Подробный ответ

На отрезке $$[-5;15]$$ длина всего отрезка равна $$15-(-5)=20$$, а длина промежутка $$(-4;4)$$ равна $$4-(-4)=8$$.
Тогда
$$P=\frac{8}{20}=0{,}4.$$
Решение неравенства $$x^2\le 64$$:
$$-8\le x\le 8.$$
Решение неравенства $$|x-3|\le 2$$:
$$-2\le x-3\le 2,\quad 1\le x\le 5.$$
Искомая вероятность равна отношению длины пересечения отрезков $$[-8;8]$$ и $$[1;5]$$ к длине $$[-8;8]$$:
$$P=\frac{5-1}{8-(-8)}=\frac{4}{16}=\frac14.$$
Площадь большего круга:
$$S_2=\pi\cdot 2^2=4\pi,$$
площадь меньшего круга:
$$S_1=\pi\cdot 1^2=\pi.$$
Часть, которая находится выше оси $$Ox$$ и вне меньшего круга, составляет половину разности площадей:
$$m=\frac{S_2-S_1}{2}=\frac{4\pi-\pi}{2}=\frac{3\pi}{2}.$$
Тогда
$$P=\frac{m}{S_2}=\frac{3\pi/2}{4\pi}=\frac38.$$
Кубик $$3\times 3\times 3$$ состоит из $$27$$ маленьких кубиков. Кубиков с ровно одной гранью на поверхности куба — $$6$$.
Поэтому
$$P=\frac{6}{27}=\frac29.$$
Случайная величина $$T$$ равномерно распределена на отрезке $$[-3;-1]$$, значит её плотность постоянна на этом отрезке и равна
$$p(x)=\frac{1}{-1-(-3)}=\frac12$$
при $$x\in[-3;-1]$$, а вне этого отрезка $$p(x)=0$$. Верный эскиз — тот, где график представляет собой прямоугольник высоты $$\frac12$$ на отрезке $$[-3;-1]$$.
Для равномерного распределения на отрезке $$[-1;3]$$:
$$P(0{,}5\le R\le 2)=\frac{2-0{,}5}{3-(-1)}=\frac{1{,}5}{4}=\frac38.$$
$$p=0{,}2,\quad q=1-p=0{,}8.$$
Ровно один успех в трёх испытаниях:
$$P_3(1)=C_3^1\cdot 0{,}2^1\cdot 0{,}8^2=3\cdot 0{,}2\cdot 0{,}64=0{,}384.$$
Так как успех более вероятен, чем неудача, то
$$p=0{,}6,\quad q=0{,}4.$$
В формуле Бернулли при $$n=33$$ и числе успехов $$k=11$$ получаем:
$$P_{33}(11)=C_{33}^{11}\cdot 0{,}6^{11}\cdot 0{,}4^{22}.$$
Для функции Лапласа $$\Phi(x)$$ верно:
$$\Phi(-x)=-\Phi(x),\qquad \Phi(x)\ \text{возрастает}.$$
Поэтому
$$\Phi(0{,}11)<\Phi(0{,}12),\qquad \Phi(-3)<\Phi(-2),\qquad \Phi(5)<0{,}5.$$ Неверное неравенство — $$\Phi(-3)>\Phi(-2)$$.
Для нормального распределения $$N(3;1)$$ математическое ожидание равно $$3$$, а стандартное отклонение $$\sigma=1$$.
Значит, график плотности симметричен относительно прямой $$x=3$$ и имеет максимум в точке $$x=3$$. Верный эскиз — тот, где вершина расположена при $$x=3$$.