Упр.28.21 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение методом введения новой переменной: а) $$x-3-\sqrt{x-3}=2$$; б) $$\sqrt{x^2-2x+1}=6\sqrt{x-1}+7$$; в) $$x+4+6\sqrt{x+4}+8=0$$; г) $$\sqrt{x^2-4x+4}=5\sqrt{x-2}+6$$.

1. а) $$x-3-\sqrt{x-3}=2.$$

   Пусть $$y=\sqrt{x-3}.$$ Тогда $$x-3=y^2,$$ и уравнение принимает вид

   $$y^2-y=2,$$

   $$y^2-y-2=0.$$

   $$D=1+8=9,$$

   $$y_1=\frac{1-3}{2}=-1,\quad y_2=\frac{1+3}{2}=2.$$

   Так как $$y=\sqrt{x-3}\ge 0,$$ значение $$y=-1$$ не подходит. Тогда

   $$\sqrt{x-3}=2,$$

   $$x-3=4,$$

   $$x=7.$$

2. б) $$\sqrt{x^2-2x+1}=6\sqrt{x-1}+7.$$

   Так как $$x^2-2x+1=(x-1)^2,$$ а $$\sqrt{(x-1)^2}=|x-1|,$$ то при $$x\ge 1$$ имеем

   $$\sqrt{x^2-2x+1}=\sqrt{(x-1)^2}=x-1.$$

   Пусть $$y=\sqrt{x-1}.$$ Тогда $$x-1=y^2,$$ и уравнение можно записать как

   $$y^2=6y+7,$$

   $$y^2-6y-7=0.$$

   $$D=36+28=64,$$

   $$y_1=\frac{6-8}{2}=-1,\quad y_2=\frac{6+8}{2}=7.$$

   Так как $$y=\sqrt{x-1}\ge 0,$$ значение $$y=-1$$ не подходит. Тогда

   $$\sqrt{x-1}=7,$$

   $$x-1=49,$$

   $$x=50.$$

3. в) $$x+4+6\sqrt{x+4}+8=0.$$

   Пусть $$y=\sqrt{x+4}.$$ Тогда $$x+4=y^2,$$ и получаем

   $$y^2+6y+8=0.$$

   $$D=36-32=4,$$

   $$y_1=\frac{-6-2}{2}=-4,\quad y_2=\frac{-6+2}{2}=-2.$$

   Но $$y=\sqrt{x+4}\ge 0,$$ поэтому оба значения не подходят. Корней нет.

4. г) $$\sqrt{x^2-4x+4}=5\sqrt{x-2}+6.$$

   Так как $$x^2-4x+4=(x-2)^2,$$ а $$\sqrt{(x-2)^2}=|x-2|,$$ то при $$x\ge 2$$ имеем

   $$\sqrt{x^2-4x+4}=\sqrt{(x-2)^2}=x-2.$$

   Пусть $$y=\sqrt{x-2}.$$ Тогда $$x-2=y^2,$$ и уравнение принимает вид

   $$y^2=5y+6,$$

   $$y^2-5y-6=0.$$

   $$D=25+24=49,$$

   $$y_1=\frac{5-7}{2}=-1,\quad y_2=\frac{5+7}{2}=6.$$

   Так как $$y=\sqrt{x-2}\ge 0,$$ значение $$y=-1$$ не подходит. Тогда

   $$\sqrt{x-2}=6,$$

   $$x-2=36,$$

   $$x=38.$$

Ответ

а) $$7$$; б) $$50$$; в) корней нет; г) $$38$$.