Упр.28.12 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Средний срок безотказной работы платы равен 1000 дней. Считая, что время работы платы до отказа имеет показательное распределение, найдите вероятность того, что плата откажет в течение первых: а) 100 дней; г) 900 дней; б) 200 дней; д) 1000 дней; в) 500 дней; е) 2000 дней.
- Решите уравнение, используя функционально-графические методы: а) $$(x-2)^2=\log_{\sqrt{2}}\left(\sqrt{x-1}\right);$$ в) $$(x+2)^2=-\log_{0,5}(x+3);$$ б) $$1-\sqrt{x}=\lg(x);$$ г) $$\frac{8}{x}+1=2x^{\frac{1}{3}}.$$
Пусть время безотказной работы платы имеет показательное распределение. Тогда
$$\lambda=\frac{1}{1000}=10^{-3}=0{,}001.$$
Вероятность отказа в течение времени $$t$$ равна
$$P(t)=1-e^{-\lambda t}.$$
Тогда:
$$P(100)=1-e^{-0{,}1}\approx 0{,}095,$$
$$P(200)=1-e^{-0{,}2}\approx 0{,}181,$$
$$P(500)=1-e^{-0{,}5}\approx 0{,}393,$$
$$P(900)=1-e^{-0{,}9}\approx 0{,}593,$$
$$P(1000)=1-e^{-1}\approx 0{,}632,$$
$$P(2000)=1-e^{-2}\approx 0{,}865.$$
Решим уравнения графически.
а) $$\left(x-2\right)^2=\log_{\sqrt{2}}\sqrt{x-1}.$$
Область определения: $$x>1.$$ По графику функций получаем точки пересечения при
$$x=2,\; x=3.$$
б) $$1-\sqrt{x}=\lg x.$$
Функция $$f(x)=1-\sqrt{x}$$ убывает на $$[0;+\infty),$$ а $$g(x)=\lg x$$ возрастает на $$\left(0;+\infty\right).$$ Поэтому решение единственно. Проверка даёт:
$$x=1,$$
так как $$1-\sqrt{1}=0$$ и $$\lg 1=0.$$
в) $$\left(x+2\right)^2=-\log_{0{,}5}(x+3).$$
Область определения: $$x>-3.$$ По графику функций получаем
$$x=-2,\; x=-1.$$
г) $$\frac{8}{x}+1=2\sqrt[3]{x}.$$
Область определения: $$x\ne 0.$$ По графику функций получаем приближённые корни:
$$x\approx -2{,}2,\quad x\approx 3{,}8.$$
Ответ
Вероятности: $$0{,}095;\ 0{,}181;\ 0{,}393;\ 0{,}593;\ 0{,}632;\ 0{,}865.$$
Уравнения: а) $$2,\ 3$$; б) $$1$$; в) $$-2,\ -1$$; г) $$-2{,}2,\ 3{,}8$$.
