Упр.24.17 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- а) Криволинейная фигура ограничена кубической параболой $$y=x^3$$ и касательными к ней, проведёнными в точках $$(0; 0)$$ и $$(1; 1)$$. Найдите площадь данной фигуры.
б) Криволинейная фигура ограничена кубической параболой $$y=x^3$$ и касательной к ней, проведённой в точке $$(1; 1)$$. Найдите площадь данной фигуры.
а) Для функции $$y=x^3$$ найдём уравнения касательных.
В точке $$(0;0)$$:
$$y’=3x^2,\quad y'(0)=0,$$
значит, касательная имеет вид $$y=0.$$
В точке $$(1;1)$$:
$$y’=3x^2,\quad y'(1)=3,$$
поэтому
$$y-1=3(x-1),$$
то есть $$y=3x-2.$$
Точка пересечения касательных:
$$0=3x-2,\quad x=\frac{2}{3}.$$
Площадь фигуры равна сумме площадей двух частей:
$$S=\int\limits_{0}^{\frac{2}{3}} x^3\,dx+\int\limits_{\frac{2}{3}}^{1}(3x-2-x^3)\,dx.$$
Вычислим:
$$\int x^3\,dx=\frac{x^4}{4},$$
$$\int (3x-2-x^3)\,dx=\frac{3x^2}{2}-2x-\frac{x^4}{4}.$$
Тогда
$$S=\left.\frac{x^4}{4}\right|_{0}^{\frac{2}{3}}+\left.\left(\frac{3x^2}{2}-2x-\frac{x^4}{4}\right)\right|_{\frac{2}{3}}^{1} =\frac{4}{81}+\frac{23}{108}=\frac{1}{12}.$$
б) Касательная к графику $$y=x^3$$ в точке $$(1;1)$$ имеет уравнение $$y=3x-2.$$
Точки пересечения с кубической параболой найдём из уравнения:
$$x^3=3x-2,$$
$$x^3-3x+2=0,$$
$$(x-1)^2(x+2)=0.$$
Следовательно, $$x=-2$$ и $$x=1.$$
Площадь фигуры:
$$S=\int\limits_{-2}^{1}(3x-2-x^3)\,dx.$$
Тогда
$$S=\left.\left(\frac{3x^2}{2}-2x-\frac{x^4}{4}\right)\right|_{-2}^{1} =\frac{27}{4}.$$
Ответ
а) $$\frac{1}{12}$$; б) $$\frac{27}{4}$$.
