Упр.23.11 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Используя формулу Ньютона — Лейбница, вычислите определённый интеграл:
а) $$\int_{0}^{3}\frac{1}{\sqrt{x+1}}\,dx$$;
б) $$\int_{-7}^{-2}\frac{1}{\sqrt{2-x}}\,dx$$;
в) $$\int_{-1}^{0}\frac{1}{(3x+4)^{1/4}}\,dx$$;
г) $$\int_{0}^{3}\frac{1}{2(5x+1)^{1/4}}\,dx$$;
д) $$\int_{-2}^{2}\frac{2}{\sqrt{5-2x}}\,dx$$;
е) $$\int_{-6}^{0}\frac{6}{\sqrt{1-4x}}\,dx$$. - В координатной плоскости задан квадрат ABCD, где $$A(0;0)$$, $$B(0;1)$$, $$C(1;1)$$, $$D(1;0)$$, и график функции $$y=f(x)$$, где $$0\leq x\leq 1$$. Найдите, в каком отношении график данной функции делит площадь квадрата, если:
а) $$f(x)=x$$;
б) $$f(x)=0{,}5x$$;
в) $$f(x)=x^2$$;
г) $$f(x)=x^3$$;
д) $$f(x)=x^{1/3}$$;
е) $$f(x)=\sqrt{x}$$.
а)
$$\int_0^3 \frac{1}{\sqrt{x+1}}\,dx=\int_0^3 (x+1)^{-\frac12}\,dx=2\sqrt{x+1}\Big|_0^3$$
$$=2\sqrt4-2\sqrt1=4-2=2.$$б)
$$\int_{-7}^{-2}\frac{1}{\sqrt{2-x}}\,dx=\int_{-7}^{-2}(2-x)^{-\frac12}\,dx=-2\sqrt{2-x}\Big|_{-7}^{-2}$$
$$=-2\sqrt4+2\sqrt9=-4+6=2.$$в)
$$\int_{-1}^{0}\frac{1}{\sqrt[4]{3x+4}}\,dx=\int_{-1}^{0}(3x+4)^{-\frac14}\,dx$$
$$=\frac{4}{9}(3x+4)^{\frac34}\Big|_{-1}^{0}=\frac{4}{9}\left(4^{\frac34}-1\right)$$
$$=\frac{4}{9}\left(2\sqrt2-1\right).$$г)
$$\int_0^3 \frac{1}{2\sqrt[4]{5x+1}}\,dx=\frac12\int_0^3(5x+1)^{-\frac14}\,dx$$
$$=\frac{2}{15}(5x+1)^{\frac34}\Big|_0^3=\frac{2}{15}\left(16^{\frac34}-1\right)$$
$$=\frac{2}{15}(8-1)=\frac{14}{15}.$$д)
$$\int_{-2}^{2}\frac{2}{\sqrt{5-2x}}\,dx=\int_{-2}^{2}2(5-2x)^{-\frac12}\,dx=-2\sqrt{5-2x}\Big|_{-2}^{2}$$
$$=-2\sqrt1+2\sqrt9=-2+6=4.$$е)
$$\int_{-6}^{0}\frac{6}{\sqrt{1-4x}}\,dx=\int_{-6}^{0}6(1-4x)^{-\frac12}\,dx=-3\sqrt{1-4x}\Big|_{-6}^{0}$$
$$=-3\sqrt1+3\sqrt{25}=-3+15=12.$$
Теперь найдём, в каком отношении график функции делит площадь квадрата. Площадь квадрата равна $$1$$, поэтому отношение площадей равно отношению площади под графиком к оставшейся части.
а) $$f(x)=x$$
$$S=\int_0^1 x\,dx=\frac12,$$
значит, вторая часть тоже равна $$\frac12$$. Тогда
$$\frac12:\frac12=1:1.$$б) $$f(x)=0{,}5x$$
$$S=\int_0^1 0{,}5x\,dx=\frac14,$$
поэтому
$$\frac14:\left(1-\frac14\right)=\frac14:\frac34=1:3.$$в) $$f(x)=x^2$$
$$S=\int_0^1 x^2\,dx=\frac13,$$
значит,
$$\frac13:\left(1-\frac13\right)=\frac13:\frac23=1:2.$$г) $$f(x)=x^3$$
$$S=\int_0^1 x^3\,dx=\frac14,$$
поэтому
$$\frac14:\left(1-\frac14\right)=\frac14:\frac34=1:3.$$д) $$f(x)=\sqrt[3]{x}$$
$$S=\int_0^1 x^{1/3}\,dx=\frac34,$$
значит,
$$\frac34:\left(1-\frac34\right)=\frac34:\frac14=3:1.$$е) $$f(x)=\sqrt{x}$$
$$S=\int_0^1 \sqrt{x}\,dx=\frac23,$$
поэтому
$$\frac23:\left(1-\frac23\right)=\frac23:\frac13=2:1.$$
Ответ
а) $$2$$; б) $$2$$; в) $$\frac{4}{9}(2\sqrt2-1)$$; г) $$\frac{14}{15}$$; д) $$4$$; е) $$12$$.
а) $$1:1$$; б) $$1:3$$; в) $$1:2$$; г) $$1:3$$; д) $$3:1$$; е) $$2:1$$.
