Ответы на вопросы Глава 4 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Сформулируйте определение первообразной для функции $$y=f(x)$$.
- Сформулируйте правило нахождения первообразной суммы двух функций.
- Приведите пример того, что первообразная произведения двух функций не равна произведению их первообразных.
- Можно ли постоянный множитель выносить за знак первообразной?
- Если функция $$y=F(x)$$ является первообразной для функции $$y=f(x)$$, то как найти первообразную для функции $$y=f(kx+m)$$?
- Что называют неопределённым интегралом от функции $$y=f(x)$$?
- В чём состоит физический смысл определённого интеграла?
- В чём состоит геометрический смысл определённого интеграла?
- Запишите формулу Ньютона — Лейбница.
- Чему равен определённый интеграл от линейной комбинации функций (линейная комбинация функций — это функция вида $$y=af(x)+bg(x)+ch(x)$$, где $$a$$, $$b$$, $$c$$ — произвольные числовые коэффициенты)?
- В чём состоит аддитивное свойство определённого интеграла?
- Какую плоскую фигуру называют криволинейной трапецией?
- Как с помощью определённого интеграла вычислить площадь криволинейной трапеции в декартовой прямоугольной системе координат $$xOy$$?
Функцию $$y=F(x)$$ называют первообразной для функции $$y=f(x)$$ на промежутке $$X$$, если для всех $$x \in X$$ выполняется равенство $$F'(x)=f(x)$$. Все первообразные имеют вид $$y=F(x)+C$$, где $$C$$ — произвольная постоянная.
Если $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$, а $$H(x)$$ — первообразная для $$h(x)$$, то $$F(x)+H(x)$$ является первообразной для суммы функций $$f(x)+h(x)$$.
Например, если $$f(x)=x$$ и $$h(x)=x^2$$, то их первообразные можно взять в виде $$F(x)=\frac{x^2}{2}$$ и $$H(x)=\frac{x^3}{3}$$. Тогда первообразная для произведения $$f(x)h(x)=x^3$$ равна $$G(x)=\frac{x^4}{4}$$, а $$F(x)\cdot H(x)=\frac{x^5}{6}$$. Значит, первообразная произведения функций не равна произведению их первообразных.
Да, можно. Если $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$, то $$kF(x)$$ — первообразная для $$kf(x)$$.
Если $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$, то для функции $$f(kx+m)$$ первообразной будет
$$\frac{1}{k}F(kx+m).$$
Неопределённым интегралом от функции $$y=f(x)$$ называют множество всех её первообразных:
$$\int f(x)\,dx=F(x)+C.$$
Физический смысл определённого интеграла: если $$v=v(t)$$ — скорость движения, то перемещение тела за промежуток времени от $$t=a$$ до $$t=b$$ равно
$$s=\int_a^b v(t)\,dt.$$
Геометрический смысл определённого интеграла: если $$f(x)\ge 0$$ на $$[a;b]$$, то определённый интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком $$y=f(x)$$, осью $$Ox$$ и прямыми $$x=a$$, $$x=b$$:
$$S=\int_a^b f(x)\,dx.$$
Формула Ньютона — Лейбница:
$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a),$$
где $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$.
Для линейной комбинации функций верно:
$$\int_{x_1}^{x_2}\bigl(af(x)+bg(x)+ch(x)\bigr)\,dx=a\int_{x_1}^{x_2}f(x)\,dx+b\int_{x_1}^{x_2}g(x)\,dx+c\int_{x_1}^{x_2}h(x)\,dx.$$
Аддитивное свойство определённого интеграла состоит в том, что при $$a
$$\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx.$$
Криволинейной трапецией называют плоскую фигуру, ограниченную непрерывной на отрезке $$[a;b]$$ функцией $$y=f(x)$$, прямыми $$y=0$$, $$x=a$$ и $$x=b$$, где $$b>a$$.
Если криволинейная трапеция ограничена графиками $$y=f(x)$$ и $$y=g(x)$$, причём $$f(x)\ge g(x)$$ на $$[a;b]$$, и прямыми $$x=a$$, $$x=b$$, то её площадь равна
$$S=\int_a^b \bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.$$
Ответ
1) $$F'(x)=f(x)$$; все первообразные имеют вид $$F(x)+C$$. 2) Первообразная суммы равна сумме первообразных. 3) Например, $$f(x)=x$$, $$h(x)=x^2$$: $$\int x^3dx=\frac{x^4}{4}$$, а $$\frac{x^2}{2}\cdot\frac{x^3}{3}\ne\frac{x^4}{4}$$. 4) Да. 5) $$\frac{1}{k}F(kx+m)$$. 6) $$\int f(x)\,dx=F(x)+C$$. 7) $$s=\int_a^b v(t)\,dt$$. 8) $$S=\int_a^b f(x)\,dx$$. 9) $$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$$. 10) Линейность интеграла. 11) $$\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx$$. 12) Фигура, ограниченная $$y=f(x)$$, $$y=0$$, $$x=a$$, $$x=b$$. 13) $$S=\int_a^b \bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx$$.
