Ответы на вопросы Глава 3 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
- Дайте определение функции, возрастающей (убывающей) на промежутке.
- Каким образом связаны знак производной функции и характер монотонности функции на открытом промежутке?
- Сформулируйте определение точки максимума (минимума) функции $$y=f(x)$$.
- Какую точку для функции $$y=f(x)$$ называют стационарной, а какую — критической?
- Верно ли, что всякая точка экстремума функции является стационарной или критической точкой?
- Верно ли, что всякая стационарная или критическая точка функции является точкой экстремума? Если нет, то приведите пример.
- Сформулируйте достаточные условия точки максимума (минимума) функции.
- Как узнать, есть ли у графика функции $$y=f(x)$$ горизонтальная асимптота; вертикальная асимптота?
Функция $$y=f(x)$$ называется возрастающей на промежутке, если для любых $$x_1$$ и $$x_2$$ из этого промежутка из неравенства $$x_1>x_2$$ следует $$f(x_1)>f(x_2)$$.
Функция называется убывающей, если из $$x_1>x_2$$ следует $$f(x_1)<f(x_2)$$.
Если на открытом промежутке $$X$$ выполняется $$f'(x)\ge 0$$, причём равенство $$f'(x)=0$$ имеет место лишь в конечном числе точек, то функция $$y=f(x)$$ возрастает на $$X$$.
Если на открытом промежутке $$X$$ выполняется $$f'(x)\le 0$$, причём равенство $$f'(x)=0$$ имеет место лишь в конечном числе точек, то функция $$y=f(x)$$ убывает на $$X$$.
Точку $$x=x_0$$ называют точкой минимума функции $$y=f(x)$$, если существует окрестность этой точки, для всех $$x\ne x_0$$ из которой выполняется неравенство $$f(x)>f(x_0)$$.
Точку $$x=x_0$$ называют точкой максимума, если существует окрестность этой точки, для всех $$x\ne x_0$$ из которой выполняется неравенство $$f(x)<f(x_0)$$.
Стационарная точка — это точка, в которой касательная к графику функции параллельна оси абсцисс, то есть $$f'(x_0)=0$$.
Критическая точка — это точка, в которой функция непрерывна, но не дифференцируема.
Да, всякая точка экстремума функции является её стационарной или критической точкой.
Нет, не всякая стационарная или критическая точка является точкой экстремума.
Например, $$x=0$$ для функций $$f(x)=\sqrt[3]{x}$$ и $$f(x)=x^3$$: в первом случае производная в точке $$0$$ не существует, во втором $$f'(0)=0$$, но экстремума в точке $$0$$ нет.
Пусть функция $$y=f(x)$$ непрерывна на промежутке $$X$$ и имеет внутри него стационарную или критическую точку $$x=x_0$$.
Если в некоторой окрестности точки $$x_0$$ при $$x<x_0$$ выполняется $$f'(x)<0$$, а при $$x>x_0$$ выполняется $$f'(x)>0$$, то $$x_0$$ — точка минимума.
Если при $$x<x_0$$ выполняется $$f'(x)>0$$, а при $$x>x_0$$ выполняется $$f'(x)<0$$, то $$x_0$$ — точка максимума.
Если слева и справа от $$x_0$$ знак производной одинаков, то в точке $$x_0$$ экстремума нет.
Если $$\lim\limits_{x\to\infty} f(x)=b$$, то прямая $$y=b$$ является горизонтальной асимптотой графика функции $$y=f(x)$$.
Если $$f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}$$ и при $$x=a$$ знаменатель $$q(x)$$ обращается в нуль, а числитель $$p(x)$$ отличен от нуля, то прямая $$x=a$$ является вертикальной асимптотой.
Ответ
1) $$y=f(x)$$ возрастает на промежутке, если из $$x_1>x_2$$ следует $$f(x_1)>f(x_2)$$; убывает, если из $$x_1>x_2$$ следует $$f(x_1)<f(x_2)$$.
2) При $$f'(x)\ge 0$$ функция возрастает, при $$f'(x)\le 0$$ — убывает (если равенство лишь в конечном числе точек).
3) Точка минимума (максимума) определяется сравнением значений функции в окрестности точки.
4) Стационарная точка: $$f'(x_0)=0$$; критическая точка: функция непрерывна, но не дифференцируема.
5) Да.
6) Нет; пример: $$f(x)=\sqrt[3]{x}$$ или $$f(x)=x^3$$ при $$x=0$$.
7) По смене знака производной: $$-\to +$$ — минимум, $$+\to -$$ — максимум, одинаковый знак — экстремума нет.
8) Горизонтальная асимптота: $$\lim\limits_{x\to\infty} f(x)=b$$, вертикальная: $$q(a)=0$$ и $$p(a)\ne 0$$.
