Упр.19.18 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
Задание учебника 2025 года
- а) Найдите наименьшее значение функции $$y=x^2-6x+5+|3-2x|$$ на заданном промежутке $$x\in[0;4]$$.
- б) Найдите наименьшее значение функции $$y=|x^3-8|-4x$$ на заданном промежутке $$x\in[-1;2]$$.
- в) Найдите наименьшее значение функции $$y=x^2+6x-5+|5-3x|$$ на заданном промежутке $$x\in[-4;1]$$.
- г) Найдите наименьшее значение функции $$y=|x^3+8|-12x$$ на заданном промежутке $$x\in[-1;4]$$.
Задание учебника 2022 года
- а) От прямоугольника отрезают угловой квадрат, сторона которого составляет $$\frac14$$ меньшей стороны прямоугольника. Площадь полученного шестиугольника должна быть равна $$68$$. Найдите наименьший периметр такого шестиугольника.
- б) От прямоугольника отрезают угловой квадрат, сторона которого на $$10$$ меньше меньшей стороны прямоугольника. Площадь полученного шестиугольника должна быть равна $$700$$. Найдите наименьший периметр такого шестиугольника.
а) $$y=x^2-6x+5+|3-2x|,\quad x\in[0;4].$$
Рассмотрим два случая.
1) Если $$x\le \frac32,$$ то $$|3-2x|=3-2x,$$ и
$$y=x^2-6x+5+3-2x=x^2-8x+8.$$
$$y'(x)=2x-8<0 \text{ на } [0;\tfrac32],$$ значит, на этом промежутке функция убывает, и минимум достигается при $$x=\frac32.$$
2) Если $$x>\frac32,$$ то $$|3-2x|=2x-3,$$ и
$$y=x^2-6x+5+2x-3=x^2-4x+2.$$
$$y'(x)=2x-4,$$ откуда критическая точка $$x=2.$$
Проверим значения в точках $$x=0,\ \frac32,\ 2,\ 4$$:
$$y(0)=5+3=8,\\ y\!\left(\frac32\right)=\frac94-12+8=-\frac74,\\ y(2)=4-12+5+|3-4|=-2,\\ y(4)=16-24+5+|3-8|=2.$$
Наименьшее значение равно $$-2.$$
б) $$y=|x^3-8|-4x,\quad x\in[-1;2].$$
На отрезке $$[-1;2]$$ имеем $$x^3-8\le 0,$$ значит
$$|x^3-8|=8-x^3.$$
Тогда
$$y=8-x^3-4x.$$
$$y'(x)=-3x^2-4<0,$$ следовательно, функция убывает на всём отрезке.
Минимум достигается при $$x=2$$:
$$y(2)=|8-8|-8=-8.$$
в) $$y=x^2+6x-5+|5-3x|,\quad x\in[-4;1].$$
На отрезке $$[-4;1]$$ выполняется $$5-3x\ge 0,$$ поэтому
$$|5-3x|=5-3x.$$
Тогда
$$y=x^2+6x-5+5-3x=x^2+3x.$$
$$y'(x)=2x+3=0 \Rightarrow x=-\frac32.$$
Проверим значения в точках $$x=-4,\ -\frac32,\ 1$$:
$$y(-4)=16-12=4,\\ y\!\left(-\frac32\right)=\frac94-\frac92=-\frac94,\\ y(1)=1+3=4.$$
Наименьшее значение равно $$-\frac94.$$
г) $$y=|x^3+8|-12x,\quad x\in[-1;4].$$
На отрезке $$[-1;4]$$ имеем $$x^3+8\ge 0,$$ значит
$$|x^3+8|=x^3+8.$$
Тогда
$$y=x^3+8-12x.$$
$$y'(x)=3x^2-12=0 \Rightarrow x=\pm 2.$$
В отрезок $$[-1;4]$$ входит только $$x=2.$$ Проверим значения в точках $$x=-1,\ 2,\ 4$$:
$$y(-1)=|-1+8|+12=19,\\ y(2)=|8+8|-24=-8,\\ y(4)=|64+8|-48=24.$$
Наименьшее значение равно $$-8.$$
а) Пусть стороны прямоугольника равны $$a$$ и $$b,$$ а сторона отрезанного квадрата равна $$x.$$ По условию $$x=\frac14 a,$$ значит $$a=4x.$$
Площадь получившегося шестиугольника:
$$ab-x^2=68.$$
Подставим $$a=4x$$:
$$4xb-x^2=68,$$
$$b=\frac{68+x^2}{4x}.$$
Периметр шестиугольника равен периметру прямоугольника:
$$P=2a+2b=8x+\frac{68+x^2}{2x}.$$
Тогда
$$P=8x+\frac{68}{2x}+\frac{x}{2}= \frac{17}{2}x+\frac{34}{x}.$$
Минимум найдём по неравенству AM-GM:
$$\frac{17}{2}x+\frac{34}{x}\ge 2\sqrt{\frac{17}{2}x\cdot \frac{34}{x}}=2\sqrt{289}=34.$$
Равенство достигается при $$\frac{17}{2}x=\frac{34}{x},$$ то есть при $$x=2.$$
Следовательно, наименьший периметр равен $$34.$$
б) Пусть сторона квадрата равна $$x,$$ тогда меньшая сторона прямоугольника равна $$x+10.$$
По условию площади:
$$(x+10)b-x^2=700.$$
Отсюда
$$b=\frac{x^2+700}{x+10}.$$
Периметр шестиугольника:
$$P=2(x+10)+2b=2x+20+\frac{2x^2+1400}{x+10}.$$
Преобразуем:
$$P=2x+20+2x-20+\frac{1600}{x+10} =4x+\frac{1600}{x+10}.$$
Положим $$t=x+10>0,$$ тогда $$x=t-10$$ и
$$P=4(t-10)+\frac{1600}{t}=4t-40+\frac{1600}{t}.$$
Минимум выражения $$4t+\frac{1600}{t}$$ достигается при
$$4t=\frac{1600}{t}\Rightarrow t^2=400\Rightarrow t=20.$$
Тогда
$$P_{\min}=4\cdot 20-40+\frac{1600}{20}=80-40+80=120.$$
Ответ
а) $$-2$$; б) $$-8$$; в) $$-\frac94$$; г) $$-8$$; 1) $$34$$; 2) $$120$$.
