Упр.18.22 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Является ли заданная функция периодической: а) $$y=x^2\tg(x)$$; б) $$y=\frac{\sin(x)}{1+\cos(x)}$$; в) $$y=v(\cos(x))$$; г) $$y=\frac{\cos(x)}{\sin(x)-2}$$?

1. а) $$y=x^2\tg x$$

   Проверим периодичность:

   $$y(x-\pi)=(x-\pi)^2\tg(x-\pi)=(x-\pi)^2\tg x\neq x^2\tg x=y(x).$$

   Следовательно, функция не периодическая.

2. б) $$y=\frac{\sin x}{1+\cos x}$$

   Так как $$\sin(x-2\pi)=\sin x$$ и $$\cos(x-2\pi)=\cos x,$$ то

   $$y(x-2\pi)=\frac{\sin(x-2\pi)}{1+\cos(x-2\pi)}=\frac{\sin x}{1+\cos x}=y(x).$$

   Значит, функция периодическая.

3. в) $$y=\sqrt{\cos x}$$

   Поскольку $$\cos(x-2\pi)=\cos x,$$ имеем

   $$y(x-2\pi)=\sqrt{\cos(x-2\pi)}=\sqrt{\cos x}=y(x).$$

   Следовательно, функция периодическая.

4. г) $$y=\frac{\cos x}{\sin x-2}$$

   Так как $$\cos(x-2\pi)=\cos x$$ и $$\sin(x-2\pi)=\sin x,$$ то

   $$y(x-2\pi)=\frac{\cos(x-2\pi)}{\sin(x-2\pi)-2}=\frac{\cos x}{\sin x-2}=y(x).$$

   Значит, функция периодическая.

Ответ

а) нет; б) да; в) да; г) да.