Упр.18.20 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Задача

Решите систему уравнений:

а) $$\begin{cases}\log_3(3x)+\log_3\left(\frac{y}{3}\right)=-1,\\3y+x-\frac{10}{3}=0;\end{cases}$$

б) $$\begin{cases}\lg(5x)+\lg(y)=\ln(e),\\3x-y-5=0;\end{cases}$$

в) $$\begin{cases}\log_2(2x)+\log_2\left(\frac{y}{2}\right)=\log_4(36),\\2x-y+4=0;\end{cases}$$

г) $$\begin{cases}\lg(x)+\lg(y+3)=2,\\x-2y+4=0.\end{cases}$$

Подробный ответ

а)
$$\log_3(3x)+\log_3\left(\frac y3\right)=-1$$
$$\log_3\left(3x\cdot \frac y3\right)=-1$$
$$\log_3(xy)=-1$$
$$xy=\frac13$$
Из второго уравнения:
$$3y+x-\frac{10}{3}=0$$
$$3\cdot \frac{1}{3x}+x-\frac{10}{3}=0$$
$$x+\frac1x-\frac{10}{3}=0$$
$$3x^2-10x+3=0$$
$$D=100-36=64$$
$$x_1=\frac{10-8}{6}=\frac13,\quad x_2=\frac{10+8}{6}=3$$
Тогда
$$y_1=\frac{1}{3\cdot \frac13}=1,\quad y_2=\frac{1}{3\cdot 3}=\frac19$$
ОДЗ: $$x>0,\ y>0$$. Оба найденных решения подходят.
б)
$$\lg(5x)+\lg(y)=\ln e$$
$$\lg(5x)+\lg(y)=1$$
$$\lg(5xy)=\lg 10$$
$$5xy=10$$
$$y=\frac{2}{x}$$
Из второго уравнения:
$$3x-y-5=0$$
$$3x-\frac{2}{x}-5=0$$
$$3x^2-5x-2=0$$
$$D=25+24=49$$
$$x_1=\frac{5-7}{6}=-\frac13,\quad x_2=\frac{5+7}{6}=2$$
С учётом ОДЗ $$x>0,\ y>0$$ подходит только
$$x=2,\quad y=1$$
в)
$$\log_2(2x)+\log_2\left(\frac y2\right)=\log_4 36$$
$$\log_2\left(2x\cdot \frac y2\right)=\log_4 36$$
$$\log_2(xy)=\log_2 6$$
$$xy=6$$
$$y=\frac{6}{x}$$
Из второго уравнения:
$$2x-y+4=0$$
$$2x-\frac{6}{x}+4=0$$
$$2x^2+4x-6=0$$
$$x^2+2x-3=0$$
$$D=4+12=16$$
$$x_1=-3,\quad x_2=1$$
С учётом ОДЗ $$x>0,\ y>0$$ подходит только
$$x=1,\quad y=6$$
г)
$$\lg x+\lg(y+3)=2$$
$$\lg\bigl(x(y+3)\bigr)=\lg 100$$
$$x(y+3)=100$$
$$x=\frac{100}{y+3}$$
Из второго уравнения:
$$x-2y+4=0$$
$$\frac{100}{y+3}-2y+4=0$$
$$100-2y(y+3)+4(y+3)=0$$
$$100-2y^2-6y+4y+12=0$$
$$2y^2+2y-112=0$$
$$y^2+y-56=0$$
$$D=1+224=225$$
$$y_1=\frac{-1-15}{2}=-8,\quad y_2=\frac{-1+15}{2}=7$$
Тогда
$$x_1=\frac{100}{-8+3}=-20,\quad x_2=\frac{100}{7+3}=10$$
С учётом ОДЗ $$x>0,\ y>-3$$ подходит только
$$x=10,\quad y=7$$