Упр.17.12 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)
Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер:
а) $$y=x^3e^x$$; б) $$y=xe^{2x-5}$$; в) $$y=\frac{e^{2x}}{x}$$; г) $$y=x^2e^x$$; д) $$y=xe^{3x+4}$$; е) $$y=\frac{e^x}{x^2}$$.
При каких значениях параметра $$p$$:
а) уравнение $$3x^2-x^3=p-2$$ имеет единственный корень;
б) уравнение $$x^4-2x^2=p+1$$ не имеет корней?
1. Точки экстремума функций
$$y=x^3e^x$$
$$y’=3x^2e^x+x^3e^x=x^2e^x(x+3)$$
Так как $$e^x>0$$ при всех $$x$$, знак производной определяется множителем $$x+3$$. Производная меняет знак с «−» на «+» при $$x=-3$$, значит, в этой точке минимум.
$$y_{\min}=(-3)^3e^{-3}=-27e^{-3}$$
$$y=xe^{2x-5}$$
$$y’=e^{2x-5}+2xe^{2x-5}=e^{2x-5}(2x+1)$$
$$2x+1=0 \Rightarrow x=-\frac12$$
Производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка минимума.
$$y_{\min}=-\frac12 e^{-6}$$
$$y=\frac{e^{2x}}{x}, \quad x\ne 0$$
$$y’=\frac{2e^{2x}\cdot x-e^{2x}}{x^2}=\frac{e^{2x}(2x-1)}{x^2}$$
$$2x-1=0 \Rightarrow x=\frac12$$
Так как $$x^2>0$$ и $$e^{2x}>0$$, знак производной определяется выражением $$2x-1$$. В точке $$x=\frac12$$ — минимум.
$$y_{\min}=\frac{e}{1/2}=2e$$
$$y=x^2e^x$$
$$y’=2xe^x+x^2e^x=xe^x(x+2)$$
Критические точки: $$x=-2$$ и $$x=0$$.
Знак производной меняется так: на $$(-\infty,-2)$$ — «+», на $$(-2,0)$$ — «−», на $$(0,+\infty)$$ — «+».
Следовательно, $$x=-2$$ — точка максимума, $$x=0$$ — точка минимума.
$$y_{\max}=(-2)^2e^{-2}=4e^{-2}, \qquad y_{\min}=0$$
$$y=xe^{3x+4}$$
$$y’=e^{3x+4}+3xe^{3x+4}=e^{3x+4}(3x+1)$$
$$3x+1=0 \Rightarrow x=-\frac13$$
Это точка минимума.
$$y_{\min}=-\frac13 e^{3\cdot(-1/3)+4}=-\frac13 e^3$$
$$y=\frac{e^x}{x^2}, \quad x\ne 0$$
$$y’=\frac{e^x x^2-2xe^x}{x^4}=\frac{e^x(x-2)}{x^3}$$
Критическая точка: $$x=2$$.
На области $$x>0$$ знак производной меняется с «−» на «+», значит, в точке $$x=2$$ — минимум.
$$y_{\min}=\frac{e^2}{4}$$
2. При каких значениях параметра $$p$$
$$3x^2-x^3=p-2$$
Рассмотрим функцию $$f(x)=3x^2-x^3+2$$. Тогда нужно, чтобы уравнение $$f(x)=p$$ имело единственный корень.
$$f'(x)=6x-3x^2=3x(2-x)$$
Критические точки: $$x=0$$ и $$x=2$$.
$$f(0)=2,\qquad f(2)=6$$
Функция возрастает на $$[0,2]$$ и убывает вне этого промежутка, поэтому единственный корень получается при значениях $$p$$ вне отрезка между экстремумами, а также в точках экстремумов — по одному корню.
Следовательно,
$$p\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)$$
$$x^4-2x^2=p+1$$
Рассмотрим функцию $$g(x)=x^4-2x^2-1$$. Нужно, чтобы уравнение $$g(x)=p$$ не имело корней.
$$g'(x)=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)$$
Критические точки: $$x=-1,0,1$$.
$$g(-1)=-2,\qquad g(0)=-1,\qquad g(1)=-2$$
Наибольшее значение функции равно $$-1$$, значит, корней нет тогда и только тогда, когда
$$p>-1$$
Ответ
1) а) $$x_{\min}=-3$$; б) $$x_{\min}=-\frac12$$; в) $$x_{\min}=\frac12$$; г) $$x_{\max}=-2,\ x_{\min}=0$$; д) $$x_{\min}=-\frac13$$; е) $$x_{\min}=2$$.
2) а) $$p\in(-\infty,2]\cup[6,+\infty)$$; б) $$p>-1$$.
