Упр.16.31 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

Используя свойство монотонности функции, решите уравнение:
а) $$6\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)+4\cos\left(\frac{\pi x}{2}\right)+17x=32-7x^3-2x^5$$;
б) $$4\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)-3\cos(\pi x)-20x=x^5+5x^3-19$$.

а) Рассмотрим функции

$$f(x)=32-7x^3-2x^5,$$

$$g(x)=6\sin\frac{\pi x}{2}+4\cos\frac{\pi x}{2}+17x.$$

Найдём производные:

$$f'(x)=-21x^2-10x^4<0,$$

значит, $$f(x)$$ убывает на $$\mathbb{R}.$$

Для функции $$g(x)$$ имеем

$$g'(x)=3\pi\cos\frac{\pi x}{2}-2\pi\sin\frac{\pi x}{2}+17.$$

Так как $$3\pi\cos\frac{\pi x}{2}-2\pi\sin\frac{\pi x}{2}\ge -\pi\sqrt{3^2+2^2}=-\pi\sqrt{13},$$ то

$$g'(x)\ge 17-\pi\sqrt{13}>0,$$

следовательно, $$g(x)$$ возрастает на $$\mathbb{R}.$$

Убывающая и возрастающая функции могут пересечься только в одной точке. Проверим $$x=1$$:

$$f(1)=32-7-2=23,$$

$$g(1)=6\sin\frac{\pi}{2}+4\cos\frac{\pi}{2}+17=6\cdot 1+4\cdot 0+17=23.$$

Значит, $$x=1$$ — единственное решение.

б) Рассмотрим функции

$$f(x)=x^5+5x^3-19,$$

$$g(x)=4\sin\frac{\pi x}{2}-3\cos(\pi x)-20x.$$

Тогда

$$f'(x)=5x^4+15x^2>0,$$

значит, $$f(x)$$ возрастает на $$\mathbb{R}.$$

Найдём производную функции $$g(x)$$:

$$g'(x)=2\pi\cos\frac{\pi x}{2}+3\pi\sin(\pi x)-20.$$

Так как

$$2\pi\cos\frac{\pi x}{2}+3\pi\sin(\pi x)\le 2\pi+3\pi=5\pi<20,$$

то

$$g'(x)<0,$$

следовательно, $$g(x)$$ убывает на $$\mathbb{R}.$$

Значит, уравнение имеет не более одного решения. Проверим $$x=1$$:

$$f(1)=1+5-19=-13,$$

$$g(1)=4\sin\frac{\pi}{2}-3\cos\pi-20=4\cdot 1-3\cdot(-1)-20=-13.$$

Следовательно, $$x=1$$ — единственное решение.

Ответ

а) $$1$$; б) $$1$$.