Упр.16.27 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. При каких значениях параметра $$p$$ функция $$y=x^3-3x$$ возрастает на отрезке: а) $$[p-2{,}5;\ p-0{,}5]$$; б) $$\left[p-\frac{1}{2};\ 2p+2\right]$$?

Найдём промежутки возрастания функции $$y=x^3-3x.$$

Производная:

$$y'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1).$$

Функция возрастает там, где $$y'(x)\ge 0,$$ то есть при

$$x\le -1 \quad \text{или} \quad x\ge 1.$$

Теперь рассмотрим каждый отрезок.

а) $$[p-2{,}5;\,p-0{,}5]$$

Чтобы функция возрастала на всём отрезке, весь отрезок должен лежать либо слева от $$-1,$$ либо справа от $$1.$$

1) $$p-0{,}5\le -1 \Rightarrow p\le -0{,}5.$$

2) $$p-2{,}5\ge 1 \Rightarrow p\ge 3{,}5.$$

Значит,

$$p\in(-\infty;\,-0{,}5]\cup[3{,}5;\,+\infty).$$

б) $$\left[p-\frac12;\,2p+2\right]$$

Аналогично, весь отрезок должен целиком находиться в области возрастания функции.

1) $$2p+2\le -1 \Rightarrow 2p\le -3 \Rightarrow p\le -1{,}5.$$

2) $$p-\frac12\ge 1 \Rightarrow p\ge 1{,}5.$$

Следовательно,

$$p\in(-\infty;\,-1{,}5]\cup[1{,}5;\,+\infty).$$

Ответ

а) $$(-\infty;\,-0{,}5]\cup[3{,}5;\,+\infty)$$; б) $$(-\infty;\,-1{,}5]\cup[1{,}5;\,+\infty).$$