Упр.16.26 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. При каких значениях параметра $$p$$ функция $$y=x^3-3x$$ убывает на отрезке: а) $$[p+1;\,p+3]$$; б) $$\left[p-3;\,\frac{1}{6}p+\frac{2}{3}\right]$$?

Найдём промежутки убывания функции $$y=x^3-3x$$.

$$y'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1).$$

Функция убывает там, где $$y'(x)\le 0$$, то есть при

$$-1\le x\le 1.$$

Теперь требуем, чтобы заданный отрезок целиком лежал в этом промежутке.

1. $$[p+1;\,p+3]\subseteq[-1;\,1].$$

   Тогда

   $$p+1\ge -1,\qquad p+3\le 1.$$

   Отсюда

   $$p\ge -2,\qquad p\le -2,$$

   значит,

   $$p=-2.$$

2. $$\left[p-3;\,\frac16p+\frac23\right]\subseteq[-1;\,1].$$

   Тогда

   $$p-3\ge -1,\qquad \frac16p+\frac23\le 1.$$

   Получаем

   $$p\ge 2,\qquad \frac16p\le \frac13,\qquad p\le 2.$$

   Следовательно,

   $$p=2.$$

Ответ

а) $$-2$$; б) $$2$$.