Дополнительная задача 7 Глава 3 ГДЗ Мордкович Семенов 11 класс (Алгебра)

1. Найдите наибольшее значение площади треугольника \(OBC\), где \(O\) — начало координат, \(B\) — точка на графике функции $$y=\frac{5}{x}+64x^5e^{6-4x},\quad 0{,}7\leq x\leq 2,$$ а \(C\) — точка на оси \(Ox\), абсцисса которой равна абсциссе точки \(B\).

Пусть $$B(x;y)$$ — точка графика функции $$y=\frac{5}{x}+64x^5e^{6-4x}, \quad 0{,}7 \le x \le 2,$$ а $$C(x;0)$$ — точка на оси $$Ox$$ с той же абсциссой. Тогда высота треугольника $$OBC$$ равна $$y$$, а основание $$OC=x$$.

Тогда площадь треугольника

$$S(x)=\frac12 \cdot x \cdot y =\frac12 x\left(\frac{5}{x}+64x^5e^{6-4x}\right) =2{,}5+32x^6e^{6-4x}.$$

Найдём производную:

$$\left(e^{6-4x}\right)’=-4e^{6-4x},$$

$$\left(x^6e^{6-4x}\right)’=6x^5e^{6-4x}-4x^6e^{6-4x} =2x^5e^{6-4x}(3-2x).$$

Следовательно,

$$S'(x)=32\cdot 2x^5e^{6-4x}(3-2x)=64x^5e^{6-4x}(3-2x).$$

Приравняем производную к нулю:

$$64x^5e^{6-4x}(3-2x)=0.$$

Так как $$64x^5e^{6-4x}>0$$ на данном отрезке, то

$$3-2x=0,\quad x=1{,}5.$$

Проверим знак производной по разные стороны от этой точки:

$$S'(1)=64\cdot 1^5\cdot e^2\cdot (3-2)>0,$$

$$S'(2)=64\cdot 2^5\cdot e^{-2}\cdot (3-4)<0.$$

Значит, при переходе через $$x=1{,}5$$ производная меняет знак с «+» на «−», поэтому в этой точке достигается максимум площади.

Найдём значение площади:

$$S_{\max}=S(1{,}5)=2{,}5+32\cdot 1{,}5^6\cdot e^{6-4\cdot 1{,}5}.$$

Так как $$e^{6-6}=1$$, а $$1{,}5^6=\frac{729}{64},$$ то

$$S_{\max}=2{,}5+32\cdot \frac{729}{64} =2{,}5+364{,}5 =367.$$

Ответ

$$367$$